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專題01 直角三角形的存在性問題-玩轉壓軸題,爭取滿分之備戰中考數學解答題高端精品
試卷
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專題01 直角三角形的存在性問題-玩轉壓軸題,爭取滿分之備戰中考數學解答題高端精品03
專題01 直角三角形的存在性問題-玩轉壓軸題,爭取滿分之備戰中考數學解答題高端精品04
專題01 直角三角形的存在性問題-玩轉壓軸題,爭取滿分之備戰中考數學解答題高端精品05
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專題01 直角三角形的存在性問題-玩轉壓軸題,爭取滿分之備戰中考數學解答題高端精品

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這是一份專題01 直角三角形的存在性問題-玩轉壓軸題,爭取滿分之備戰中考數學解答題高端精品,文件包含專題01直角三角形的存在性問題原卷版doc、專題01直角三角形的存在性問題解析版doc等2份試卷配套教學資源,其中試卷共67頁, 歡迎下載使用。

這類問題主要是已知直角三角形的一邊(即直角三角形的兩個點確定),求解第三點。這類問題主要是和動點問題結合在一起,主要在于考查學生的探尋能力和分類研究的推理能力,也是近幾年來各市地對學生能力提高方面的一個考查。
【解題攻略】
解直角三角形的存在性問題,一般分三步走,第一步尋找分類標準,第二步列方程,第三步解方程并驗根.
一般情況下,按照直角頂點或者斜邊分類,然后按照三角比或勾股定理列方程.
有時根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便.
解直角三角形的問題,常常和相似三角形、三角比的問題聯系在一起.
如果直角邊與坐標軸不平行,那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線,可以構造兩個新的相似直角三角形,這樣列比例方程比較簡便.
在平面直角坐標系中,兩點間的距離公式常常用到.
怎樣畫直角三角形的示意圖呢?如果已知直角邊,那么過直角邊的兩個端點畫垂線,第三個頂點在垂線上;如果已知斜邊,那么以斜邊為直徑畫圓,直角頂點在圓上(不含直徑的兩個端點).
【解題類型及其思路】
當直角三角形存在時可從三個角度進行分析研究:(1)當動點在直線上運動時,常用的方法是① ,②三角形相似,③勾股定理;(2)當動點在曲線上運動時,情況分類如下,第一當已知點處作直角的方法① ,②三角形相似,③勾股定理;第二是當動點處作直角的方法:尋找特殊角
【典例指引】
類型一 【確定三角形的形狀】
典例指引1.
(2019·遼寧中考模擬)已知,m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數根,且|m|<|n|,拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A(m,0),B(0,n),如圖所示.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為拋物線的頂點為D,求出點C,D的坐標,并判斷△BCD的形狀;
(3)點P是直線BC上的一個動點(點P不與點B和點C重合),過點P作x軸的垂線,交拋物線于點M,點Q在直線BC上,距離點P為個單位長度,設點P的橫坐標為t,△PMQ的面積為S,求出S與t之間的函數關系式.
【舉一反三】
(2019·淮濱縣王店鄉教育管理站中考模擬)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(﹣1,0)B(3,0)兩點,與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式;
(2)請在y軸上找一點M,使△BDM的周長最小,求出點M的坐標;
(3)試探究:在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
類型二 【確定點的坐標】
典例指引2.
19.(2019·江西中考模擬)已知拋物線l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不為0)的頂點為M,與y軸的交點為N,我們稱以N為頂點,對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線,直線MN為拋物線l的衍生直線.
(1)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是 ,衍生直線的解析式是 ;
(2)若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求這條拋物線的解析式;
(3)如圖,設(1)中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為M,與y軸交點為N,將它的衍生直線MN先繞點N旋轉到與x軸平行,再沿y軸向上平移1個單位得直線n,P是直線n上的動點,是否存在點P,使△POM為直角三角形?若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3;(2)y=2x2﹣4x+1;(3)存在,P為(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2).
【解析】
分析:(1)衍生拋物線頂點為原拋物線與y軸的交點,則可根據頂點設頂點式方程,由衍生拋物線過原拋物線的頂點則解析式易得,MN解析式易得.
(2)已知衍生拋物線和衍生直線求原拋物線思路正好與(1)相反,根據衍生拋物線與衍生直線的兩交點分別為衍生拋物線與原拋物線的交點,則可推得原拋物線頂點式,再代入經過點,即得解析式.(3)由N(0,﹣3),衍生直線MN繞點N旋轉到與x軸平行得到y=﹣3,再向上平移1個單位即得直線y=﹣2,所以P點可設(x,﹣2).在坐標系中使得△POM為直角三角形一般考慮勾股定理,對于坐標系中的兩點,分別過點作平行于x軸、y軸的直線,則可構成以兩點間距離為斜邊的直角三角形,且直角邊長都為兩點橫縱坐標差的絕對值.進而我們可以先算出三點所成三條線的平方,然后組合構成滿足勾股定理的三種情況,易得P點坐標.
本題解析:
(1)∵拋物線y=x2﹣2x﹣3過(0,﹣3),
∴設其衍生拋物線為y=ax2﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4,
∴衍生拋物線為y=ax2﹣3過拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(1,﹣4),
∴﹣4=a?1﹣3,
解得 a=﹣1,
∴衍生拋物線為y=﹣x2﹣3.
設衍生直線為y=kx+b,
∵y=kx+b過(0,﹣3),(1,﹣4),
∴,
∴,
∴衍生直線為y=﹣x﹣3.
(2)∵衍生拋物線和衍生直線兩交點分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點,
∴將y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1聯立,得,
解得 或,
∵衍生拋物線y=﹣2x2+1的頂點為(0,1),
∴原拋物線的頂點為(1,﹣1).
設原拋物線為y=a(x﹣1)2﹣1,
∵y=a(x﹣1)2﹣1過(0,1),
∴1=a(0﹣1)2﹣1,
解得 a=2,
∴原拋物線為y=2x2﹣4x+1.
(3)∵N(0,﹣3),
∴MN繞點N旋轉到與x軸平行后,解析式為y=﹣3,
∴再沿y軸向上平移1個單位得的直線n解析式為y=﹣2.
設點P坐標為(x,﹣2),
∵O(0,0),M(1,﹣4),
∴OM2=(xM﹣xO)2+(yO﹣yM)2=1+16=17,
OP2=(|xP﹣xO|)2+(yO﹣yP)2=x2+4,
MP2=(|xP﹣xM|)2+(yP﹣yM)2=(x﹣1)2+4=x2﹣2x+5.
①當OM2=OP2+MP2時,有17=x2+4+x2﹣2x+5,
解得x=或x=,即P(,﹣2)或P(,﹣2).
②當OP2=OM2+MP2時,有x2+4=17+x2﹣2x+5,
解得 x=9,即P(9,﹣2).
③當MP2=OP2+OM2時,有x2﹣2x+5=x2+4+17,
解得 x=﹣8,即P(﹣8,﹣2).
綜上所述,當P為(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2)時,△POM為直角三角形.
【名師點睛】本題考查了一次函數、二次函數圖象及性質,勾股定理及利用其表示坐標系中兩點距離的基礎知識,特別注意的是:利用其表示坐標系中兩點距離,是近幾年中考的熱點,需學生熟練運用.
【舉一反三】
如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣5,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點D.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)如圖1,點E(x,y)為拋物線上一點,且﹣5<x<﹣2,過點E作EF∥x軸,交拋物線的對稱軸于點F,作EH⊥x軸于點H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周長的最大值;
(3)如圖2,點P為拋物線對稱軸上一點,是否存在點P,使以點P,A,C為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
類型三 【確定動點運動的時間】
典例指引3.
已知二次函數y=ax2+bx-2的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點A的坐標為(4,0),且當x=-2和x=5時二次函數的函數值y相等.
(1)求實數a,b的值;
(2)如圖①,動點E,F同時從A點出發,其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動,點F以每秒個單位長度的速度沿射線AC方向運動.當點E停止運動時,點F隨之停止運動.設運動時間為t秒.連接EF,將△AEF沿EF翻折,使點A落在點D處,得到△DEF.
①是否存在某一時刻t,使得△DCF為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;
②設△DEF與△ABC重疊部分的面積為S,求S關于t的函數關系式.
【舉一反三】
(2018·河北中考模擬)如圖,在平面直角坐標系中,A、B為x軸上兩點,C、D為y軸上的兩點,經過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”.已知點C的坐標為(0,),點M是拋物線C2:(<0)的頂點.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當△BDM為直角三角形時,求的值.
【新題訓練】
1.(2019·重慶實驗外國語學校初三)如圖1,已知拋物線y=﹣x+3與x軸交于A和B兩點,(點A在點B的左側),與y軸交于點C.
(1)求出直線BC的解析式.
(2)M為線段BC上方拋物線上一動點,過M作x軸的垂線交BC于H,過M作MQ⊥BC于Q,求出△MHQ周長最大值并求出此時M的坐標;當△MHQ的周長最大時在對稱軸上找一點R,使|AR﹣MR|最大,求出此時R的坐標.
(3)T為線段BC上一動點,將△OCT沿邊OT翻折得到△OC′T,是否存在點T使△OC′T與△OBC的重疊部分為直角三角形,若存在請求出BT的長,若不存在,請說明理由.
2.(2019·福建師范大學附屬中學初中部初三月考)如圖,拋物線y=mx2+nx﹣3(m≠0)與x軸交于A(﹣3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C,直線y=﹣x與該拋物線交于E,F兩點.
(1)求點C坐標及拋物線的解析式.
(2)P是直線EF下方拋物線上的一個動點,作PH⊥EF于點H,求PH的最大值.
(3)以點C為圓心,1為半徑作圓,⊙C上是否存在點D,使得△BCD是以CD為直角邊的直角三角形?若存在,直接寫出D點坐標;若不存在,請說明理由.
3.(2019·四川中考真題)如圖,頂點為的二次函數圖象與x軸交于點,點B在該圖象上,交其對稱軸l于點M,點M、N關于點P對稱,連接、.
(1)求該二次函數的關系式.
(2)若點B在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動,請解答下列問題:
①連接,當時,請判斷的形狀,并求出此時點B的坐標.
②求證:.
4.(2018·貴州中考真題)如圖,已知拋物線的對稱軸為直線,且拋物線與軸交于、兩點,與軸交于點,其中,.
(1)若直線經過、兩點,求直線和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上找一點,使點到點的距離與到點的距離之和最小,求出點的坐標;
(3)設點為拋物線的對稱軸上的一個動點,求使為直角三角形的點的坐標.
5.(2018·四川中考真題)如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經過點A(0,3)、B(1,0),其對稱軸為直線l:x=2,過點A作AC∥x軸交拋物線于點C,∠AOB的平分線交線段AC于點E,點P是拋物線上的一個動點,設其橫坐標為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上,連結PE、PO,當m為何值時,四邊形AOPE面積最大,并求出其最大值;
(3)如圖②,F是拋物線的對稱軸l上的一點,在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
6.(2019·云南中考模擬)已知,拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(﹣1,0)和C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上,是否存在點P,使PA+PC的值最???如果存在,請求出點P的坐標,如果不存在,請說明理由;
(3)設點M在拋物線的對稱軸上,當△MAC是直角三角形時,求點M的坐標.
7.(2019·黑龍江中考模擬)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(﹣1,0)B(3,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線y=ax2+2x+c的解析式:;
(2)點D為拋物線上對稱軸右側、x軸上方一點,DE⊥x軸于點E,DF∥AC交拋物線對稱軸于點F,求DE+DF的最大值;
(3)①在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
②點Q在拋物線對稱軸上,其縱坐標為t,請直接寫出△ACQ為銳角三角形時t的取值范圍.
8.(2019·廣西中考模擬)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經過A(1,0),C(0,3)兩點,拋物線與x軸的另一交點為B.
(1)若直線y=mx+n經過B、C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;
(2)設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的坐標.
9.(2019·山東中考模擬)如圖,在平面直角坐標系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,點B的坐標為(1,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方拋物線上的一點,過點P作PD垂直x軸于點D,交線段AB于點E,使PE=DE.
①求點P的坐標;
②在直線PD上是否存在點M,使△ABM為直角三角形?若存在,求出符合條件的所有點M的坐標;若不存在,請說明理由.
10.(2019·山東中考模擬)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當點P運動到什么位置時,△PAB的面積有最大值?
(3)過點P作x軸的垂線,交線段AB于點D,再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E,連結DE,請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.
11.(2019·陜西中考模擬)如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且點A(1,-4)為拋物線的頂點,點B在x軸上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使△POB與△POC全等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點Q是y軸上一點,且△ABQ為直角三角形,求點Q的坐標.
12.(2019·山東中考模擬)如圖,已知直線AB經過點(0,4),與拋物線y=x2交于A,B兩點,其中點A的橫坐標是.
(1)求這條直線的函數關系式及點B的坐標.
(2)在x軸上是否存在點C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出點C的坐標,若不存在請說明理由.
(3)過線段AB上一點P,作PM∥x軸,交拋物線于點M,點M在第一象限,點N(0,1),當點M的橫坐標為何值時,MN+3MP的長度最大?最大值是多少?
13.(2019·河北中考模擬)已知如圖,拋物線y=x2+bx+c過點A(3,0),B(1,0),交y軸于點C,點P是該拋物線上一動點,點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與點A重合),過點P作PD∥y軸交直線AC于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值;
(3)△APD能否構成直角三角形?若能請直接寫出點P坐標,若不能請說明理由;
(4)在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MA﹣MC|最大?若存在請求出點M的坐標,若不存在請說明理由.
14.(2019·河南中考模擬)如圖所示,菱形ABCD位于平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c經過菱形的三個頂點A、B、C,已知A(﹣3,0)、B(0,﹣4).
(1)求拋物線解析式;
(2)線段BD上有一動點E,過點E作y軸的平行線,交BC于點F,若S△BOD=4S△EBF,求點E的坐標;
(3)拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△BPD是以BD為斜邊的直角三角形?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,說明理由.
15.(2019·臨沭縣青云鎮青云初級中學中考模擬)如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點,過點P作PC⊥x軸于點D,交拋物線于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值,若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;
(3)求?PAC為直角三角形時點P的坐標.
16.(2019·江西中考模擬)如圖,矩形OABC中,點O為原點,點A的坐標為(0,8),點C的坐標為(6,0).拋物線經過A、C兩點,與AB邊交于點D.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合),點Q為線段AC上一個動點,AQ=CP,連接PQ,設CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關于m的函數表達式,并求出m為何值時,S取得最大值;
②當S最大時,在拋物線的對稱軸l上若存在點F,使△FDQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的F的坐標;若不存在,請說明理由.
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