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專題22 互補性旋轉問題-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練
試卷
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專題22  互補性旋轉問題-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練01
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專題22 互補性旋轉問題-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練

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1、全等型—90°
已知:,平分,、在、上
結論:(1)
(2)
(3)
2、全等型—90°變式:
已知:,平分,在反向延長線上,在上
結論:(1)
(2)
(3)
3、全等型—120°
已知:,,平分,、在、上
結論:(1)
(2)
(3)
4、全等型—任意角
【典例分析】
例1.(2019·全國八年級專題練習)將4個邊長都是2的正方形按如圖所示的樣子擺放,點,,分別是三個正方形的中心,則圖中三塊重疊部分的面積的和為( ).
A.2B.3C.6D.8
【答案】B
【分析】
如圖:連接AP,AN,點A是正方形的對角線的交點,易證≌,可得的面積是正方形的面積的,即每個陰影部分的面積都等于正方形面積的,即可解答.
【詳解】
解:如圖,
連接AP,AN,點A是正方形的對角線的交點,
則,,
,
,
≌,
四邊形AENF的面積等于的面積,
而的面積是正方形的面積的,而正方形的面積為4,
四邊形AENF的面積為,三塊陰影面積的和為.
故選B.
【點睛】
本題主要考查了正方形的特性及面積公式,由圖形的特點可知,每個陰影部分的面積都等于正方形面積的,據此解題解答本題的關鍵是發現每個陰影部分的面積都等于正方形面積的.
例2.(2021·上海九年級專題練習)如圖,在四邊形中,于,則的長為__________
【答案】
【分析】
過點B作 交DC的延長線交于點F,證明≌ 推出,,可得,由此即可解決問題;
【詳解】
解:過點B作交DC的延長線交于點F,如右圖所示,
∵,


,


∴≌
,
,
,
即,
,
故答案為.
【點睛】
本題考查全等三角形的判定和性質,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,屬于中考??碱}型.
例3.(2020·江蘇鹽城市·匯文實驗初中八年級月考)問題背景:如圖1,在四邊形中,,,,,,繞B點旋轉,它的兩邊分別交、于E、F.探究圖中線段,,之間的數量關系.小李同學探究此問題的方法是:延長到G,使,連接,先證明,再證明,可得出結論,他的結論就是_______________;
探究延伸1:如圖2,在四邊形中,,,,,繞B點旋轉,它的兩邊分別交、于E、F.上述結論是否仍然成立?請直接寫出結論(直接寫出“成立”或者“不成立”),不要說明理由.
探究延伸2:如圖3,在四邊形中,,,,繞B點旋轉,它的兩邊分別交、于E、F.上述結論是否仍然成立?并說明理由.
實際應用:如圖4,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西的A處艦艇乙在指揮中心南偏東的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進,同時艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時的速度前進,1.2小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處,且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為,試求此時兩艦艇之間的距離.
【答案】EF=AE+CF.探究延伸1:結論EF=AE+CF成立.探究延伸2:結論EF=AE+CF仍然成立.實際應用:210海里.
【分析】
延長到G,使,連接,先證明,可得BG=BE,∠CBG=∠ABE,再證明,可得GF=EF,即可解題;
探究延伸1:延長到G,使,連接,先證明,可得BG=BE,∠CBG=∠ABE,再證明,可得GF=EF,即可解題;
探究延伸2:延長到G,使,連接,先證明,可得BG=BE,∠CBG=∠ABE,再證明,可得GF=EF,即可解題;
實際應用:連接EF,延長AE,BF相交于點C,然后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF,將AE和CF的長代入即可.
【詳解】
解:EF=AE+CF
理由:延長到G,使,連接,
在△BCG和△BAE中,
,
∴(SAS),
∴BG=BE,∠CBG=∠ABE,
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∴∠ABE+∠CBF=60°,
∴∠CBG+∠CBF=60°,
即∠GBF=60°,
在△BGF和△BEF中,
,
∴△BGF≌△BEF(SAS),
∴GF=EF,
∵GF=CG+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF.
探究延伸1:結論EF=AE+CF成立.
理由:延長到G,使,連接,
在△BCG和△BAE中,
,
∴(SAS),
∴BG=BE,∠CBG=∠ABE,
∵∠ABC=2∠MBN,
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC,
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC,
即∠GBF=∠ABC,
在△BGF和△BEF中,
,
∴△BGF≌△BEF(SAS),
∴GF=EF,
∵GF=CG+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF.
探究延伸2:結論EF=AE+CF仍然成立.
理由:延長到G,使,連接,
∵,∠BCG+∠BCD=180°,
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中,
,
∴(SAS),
∴BG=BE,∠CBG=∠ABE,
∵∠ABC=2∠MBN,
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC,
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC,
即∠GBF=∠ABC,
在△BGF和△BEF中,
,
∴△BGF≌△BEF(SAS),
∴GF=EF,
∵GF=CG+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF.
實際應用:連接EF,延長AE,BF相交于點C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF=∠AOB
∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的條件
∴結論EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210(海里)
答:此時兩艦艇之間的距離為210海里.
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質.作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.
【好題演練】
一、單選題
1.(2019·清華附中上莊學校八年級期末)Rt△ABC中,AB=AC,點D為BC中點.∠MDN=90°,∠MDN繞點D旋轉,DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點.下列結論
①(BE+CF)=BC,②,③AD·EF,④AD≥EF,⑤AD與EF可能互相平分,
其中正確結論的個數是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
二、填空題
2.(2017·重慶開州區·九年級期末)如圖,P是等邊三角形ABC內一點,將線段BP繞點B逆時針旋轉60°得到線段BQ,連接AQ.若PA=4,PB=5,PC=3,則四邊形APBQ的面積為_______.
3.(2018·湖北武漢市·八年級月考)如圖,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠BAC=∠BDC=90°,BC=8,AB=AC,∠CBD=30°,BD=43,M,N分別在BD,CD上,∠MAN=45°,則△DMN的周長為_____.
三、解答題
4.(2020·江西萍鄉市·八年級期末)(課題研究)旋轉圖形中對應線段所在直線的夾角(小于等于90°的角)與旋轉角的關系.
(問題初探)線段AB繞點O順時針旋轉得到線段CD,其中點A與點C對應,點B與點D對應,旋轉角的度數為α,且0°<α<180°.
(1)如圖①,當α=60°時,線段AB、CD所在直線夾角(銳角)為 ;
(2)如圖②,當90°<α<180°時,直線AB與直線CD所夾銳角與旋轉角α存在怎樣的數量關系?請說明理由;
(形成結論)旋轉圖形中,當旋轉角小于平角時,對應線段所在直線的夾角與旋轉角 .
(運用拓廣)運用所形成的結論解決問題:
(3)如圖③,四邊形ABCD中,∠ABC=60°,∠ADC=30°,AB=BC,CD=3,BD=,求AD的長.
5.(2019·重慶北碚區·西南大學附中八年級月考)如圖1,四邊形ABCD中,BD⊥AD,E為BD上一點,AE=BC,CE⊥BD,CE=ED
(1)已知AB=10,AD=6,求CD;
(2)如圖2,F為AD上一點,AF=DE,連接BF,交BF交AE于G,過G作GH⊥AB于H,∠BGH=75°.求證:BF=2GH+EG.
6.(2020·濟寧市實驗初中九年級月考)閱讀下面材料:
小炎遇到這樣一個問題:如圖1,點E、F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,連結EF,則EF=BE+DF,試說明理由.
小炎是這樣思考的:要想解決這個問題,首先應想辦法將這些分散的線段相對集中.她先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法,最后發現線段AB,AD是共點并且相等的,于是找到解決問題的方法.她的方法是將△ABE繞著點A逆時針旋轉90°得到△ADG,再利用全等的知識解決了這個問題(如圖2).
參考小炎同學思考問題的方法,解決下列問題:
(1)如圖3,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°點E,F分別在邊BC,CD上,∠EAF=45°.若∠B,∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足_ 關系時,仍有EF=BE+DF;
(2)如圖4,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°,若BD=1, EC=2,求DE的長.
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