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專題59 實驗操作類問題(1)-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練
試卷
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專題59  實驗操作類問題(1)-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練01
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專題59 實驗操作類問題(1)-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練

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這是一份專題59 實驗操作類問題(1)-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練,文件包含專題59實驗操作類問題1原卷版-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練docx、專題59實驗操作類問題1解析版-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練docx等2份試卷配套教學資源,其中試卷共37頁, 歡迎下載使用。

實驗操作型問題是讓學生在實際操作的基 礎上設計問題,通過動手測量、作圖、取值、 計算等實驗,猜想獲得數學結論來設計有關 問題,這類活動完全模擬以動手為基礎的手腦結合的科學研究形式,需要動手操作、合理猜想和驗證。
【典例分析】
例1.(2020·全國九年級專題練習)如圖,已知像這樣由7個全等的正六邊形組成的圖形叫做“二環蜂窩”,每個正六邊形的頂點叫做格點,頂點都在格點上的三角形叫做格點三角形.已知為該二環蜂窩一個格點三角形,則在該二環蜂窩中,以點A為頂點且與相似(包括全等但不與重合)的格點三角形最多能作的個數為( )
A.18B.23C.25D.31
【答案】D
【分析】
先說明△ABC是含30°的直角三角形,分兩類討論符合題意的三角形,①相似比為1的,根據一個正六邊形,以斜邊不同找三角形的個數為6,三個正六邊形為:個;②找相似比不為1的,以斜邊不同,同理可得結論.
【詳解】
解:∵7個全等的正六邊形,
∴△ABC三個內角分別為30°,60°,90°,
①如圖1,與△ABC全等時,在正六邊形ADEFGH中,
以AF為斜邊的有4個:△AFG,△AFH,△AFE,△AFD,
以DG為斜邊的有△ADG,以EH為斜邊的有△AEH,
同理另外以點A為頂點的兩個正六邊形各有6個全等的三角形,去掉△ABC本身,所以一共有17個三角形,
②如圖2,與△ABC相似的,以AA'為斜邊的有4個,以AD為斜邊的有4個,
以C'B'為斜邊的有△AB'C',以BB'為斜邊的有△ABB',以D'H為斜邊的有△AHD',以EH為斜邊的有△AEH,以FG為斜邊的有△AFG,以OG為斜邊的有△OAG,所以一共有14個,
綜上所述,以點A為頂點且與△ABC相似(包括全等但不與△ABC重合)的格點三角形最多能作的個數為:17+14=31(個);
故選:D.
【點睛】
本題考查相似和全等三角形的判定、正六邊形的性質,解題的關鍵是學會分類討論的思想,屬于中考填空題中的壓軸題.
例2.(2020·西安市鐵一中學九年級期中)如圖,將一張矩形紙片的邊斜著向邊對折,使點落在邊上,記為,折痕為;再將邊斜向下對折,使點落在上,記為,折痕為,,,則矩形紙片的面積為________.
【答案】15
【分析】
先根據矩形的性質可得,設,從而可得,再根據折疊的性質可得,從而可得,然后根據相似三角形的判定與性質可得,由此可得,最后根據可求出a的值,從而可得AB、BC的值,據此利用矩形的面積公式即可得.
【詳解】
四邊形ABCD是矩形,
,
設,則,
由折疊的性質得:,
,
,
,
又,
,
,
在和中,,
,
,即,
解得,
,
,
解得,
,
則矩形紙片的面積為,
故答案為:15.
【點睛】
本題考查了矩形與折疊問題、相似三角形的判定與性質等知識點,熟練掌握矩形與折疊的性質是解題關鍵.
例3.(2020·浙江七年級其他模擬)操作與推理:我們知道,任何一個有理數都可以用數軸上一個點來表示,根據下列題意解決問題:
(1)已知x=2,請畫出數軸表示出x的點:
(2)在數軸上,我們把表示數2的點定為基準點,記作點O,對于兩個不同的點A和B,若點A、 B到點O的距離相等,則稱點A與點B互為基準等距變換點.例如圖2,點A表示數-1,點B表示數5,它們與基準點O的距離都是3個單位長度,我們稱點A與點B互為基準等距變換點.
①記已知點M表示數m,點N表示數n,點M與點N互為基準等距變換點.I.若m=3,則n= ;II.用含m的代數式表示n= ;
②對點M進行如下操作:先把點M表示的數乘以23,再把所得數表示的點沿著數軸向右移動2個單位長度得到點N,若點M與點N互為基準等距變換點,求點M表示的數;
③點P在點Q的左邊,點P與點Q之間的距離為8個單位長度,對Q點做如下操作: Q1為Q的基準等距變換點,將數軸沿原點對折后Q1的落點為Q2這樣為一次變換: Q3為Q2的基準等距變換點,將數軸沿原點對折后Q3的落點為Q4這樣為二次變換: Q5為Q4的基準等距變換點......,依此順序不斷地重復變換,得到Q5,Q6,Q7....Qn,若P與Qn.兩點間的距離是4,直接寫出n的值.
【答案】(1)見解析;(2)①I,1;II 4-m ②;③2或6.
【分析】
(1)在數軸上描點;
(2)由基準點的定義可知,;
(3)(3)設P點表示的數是m,則Q點表示的數是m+8,由題可知Q1與Q是基準點,Q2與Q1關于原點對稱,Q3與Q2是基準點,Q4與Q3關于原點對稱,…
由此規律可得到當n為偶數,Qn表示的數是m+8-2n,P與Qn兩點間的距離是4,則有|m-m-8+2n|=4即可求n;
【詳解】
解:(1)如圖所示,
(2)①Ⅰ.∵2是基準點,m=3,3到2的距離是1,所以到2的距離是1的另外一個點是1,
∴n=1;
故答案為1;
Ⅱ.有定義可知:m+n=4,
∴n=4-m;
故答案為:4-m
②設點M表示的數是m,
先乘以23,得到23m,
再沿著數軸向右移動2個單位長度得到點N為23m+2,
∵點M與點N互為基準等距變換點,
∴23m+2+m=4,
∴m=;
③設P點表示的數是m,則Q點表示的數是m+8,如圖,
由題可知Q1表示的數是4-(m+8),Q2表示的數是-4+(m+8),Q3表示的數是8-(m+8),Q4表示的數是-8+(m+8),Q5表示的數是12-(m+8),Q6表示的數是-12+(m+8)…
∴當n為偶數,Qn表示的數是-2n+(m+8),
∵若P與Qn兩點間的距離是4,
∴|m-[-2n+(m+8)]|=4,
∴n=2或n=6.
【點睛】
本題考查新定義,數軸上數的特點;能夠理解基準點的定義是解決問題的基礎,從定義中探究出基準點的兩個點是關于2對稱的;(3)中找到Q的變換規律是解題的關鍵.
【好題演練】
一、單選題
1.(2019·山西七年級期末)在數學課上,老師讓每個同學拿一張三角形紙片,,設,要求同學們利用所學的三角形全等的判定方法,剪下兩個全等的三角形.下面是四位同學的裁剪方法,如圖,剪刀沿著箭頭方向剪開,能得到兩個全等三角形小紙片的有( )
A.1種B.2種C.3種D.4種
【答案】C
【分析】
利用全等三角形的判定定理一一排查即可.
【詳解】
如圖1中,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
,BE=FC=2,
∠B=∠C,
BF=CG=3,
△EBF≌△FCG(SAS),
剪刀沿著箭頭方向剪開,能得到兩個全等三角形小紙片的有,
,
如圖2,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
BE=CG=3,
∠B=∠C,
BF=CF=2.5,
△BEF≌△CGF(SAS),
剪刀沿著箭頭方向剪開,能得到兩個全等三角形小紙片,
,
如圖 3,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠EFG=,
∴∠BEF+∠EFB=180o-xo=∠EFB+∠GFC,
∴∠BEF=∠GFC,
BE的對應邊是FC,相等情況不確定,
△BEF與△CGF全等不確定,
如圖4,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠EFG=,
∴∠BEF+∠EFB=180o-xo=∠EFB+∠GFC,
∴∠BEF=∠GFC,
EB=FC=2,
∠B=∠C,
△BEF≌△CFG(ASA),
剪刀沿著箭頭方向剪開,能得到兩個全等三角形小紙片.
故選擇:C.
【點睛】
本題考查全等三角形的判定,關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法,從圖形中找到三角形全等的條件是否充足,夠條件可以斷定,條件不夠或不確定就不斷定.
2.(2020·臺州市椒江區前所中學九年級月考)勾股定理是人類最偉大的科學發現之一,在我國古算書《周髀算經》中早有記載,如圖①,以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形,再把較小的兩個等邊三角形按如圖②的方式放置在最大等邊三角形內.若知道圖②中陰影部分的面積,則一定能求出圖②中( )
A.最大等邊三角形與直角三角形面積的和B.最大等邊三角形的面積
C.較小兩個等邊三角形重疊部分的面積D.直角三角形的面積
【答案】C
【分析】
設三個等邊三角形的面積分別為S1、S2、S3,則有S1+S2=S3,利用三角形面積的和與差可得結論.
【詳解】
解:如圖,以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形,設它們的面積分別為S1、S2、S3,則有S1+S2=S3,
∴S1+S2+S陰影=S3+S△EFG,
∴S陰影=S△EFG,
即知道圖②中陰影部分的面積,則一定能求出圖②中較小兩個等邊三角形重疊部分的面積,
故選:C.
【點睛】
本題考查了勾股定理的證明和三角形的面積,直觀識圖是關鍵.
二、填空題
3.(2020·四川自貢市·)如圖,在三角形紙片中,,,,將紙片沿過點的直線折疊,使點落在斜邊上的點處,折痕記為,剪去△后得到雙層△,再沿著過△某頂點的直線將雙層三角形剪開,使得展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形,則所得平行四邊形的面積是_____.
【答案】
【分析】
利用三角函數先求解得到是的中垂線,由對折的性質求解分情況討論, ①如圖中,當時,沿著直線EF將雙層三角形剪開,展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形,②如圖中,當FD=FB時,沿著直線DF將雙層三角形剪開,展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形,利用平行四邊形的面積是三角形面積的倍,從而可得答案.
【詳解】
解:如圖,





由對折設


是的中垂線,

在Rt中,
∴,
∴,
①如圖中,當時,沿著直線EF將雙層三角形剪開,展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形,




為等邊三角形,
過作于,




②如圖中,當FD=FB時,沿著直線DF將雙層三角形剪開,展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形,
過作于,







綜上:所得平行四邊形的面積是
故答案為:
【點睛】
本題考查翻折變換、線段的垂直平分線的判定與性質,勾股定理的應用,平行四邊形的判定和性質、含角的直角三角形的性質,等邊三角形的判定與性質等知識,解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題.
4.(2020·湖北襄陽市·九年級其他模擬)菱形ABCD中,AB=8,∠B=120°,沿過菱形不同的頂點裁剪兩次,再將所裁下的圖形拼接,若恰好能無縫,無重疊的拼接成一個矩形,則所得矩形的對角線長為_____.
【答案】或者
【分析】
按兩種情況討論,根據題意可知兩種情況可拼出的新矩形一樣,再根據菱形的性質以及矩形的性質,由勾股定理求解即可得到新矩形的對角線的長度;
【詳解】
解:分情況討論,
情況①,如圖,分別沿菱形的對角線AC、BD裁剪,將剪下的四個三角形重新拼接得到矩形 或者矩形 ,如圖,
∵AB=8,∠B=120°,
∴ , ,
當拼成矩形時,有 , ,
∴矩形對角線長為: ,
當拼成矩形時,有 , ,
∴矩形對角線長為:;
情況②,過B作BE⊥AD,過D作DF⊥BC,分別沿BE、DF裁剪,將剪下的三角形和剩余的矩形重新拼接得到和①一樣的新矩形 或者矩形,如圖,
因此新矩形的對角線長為或者,
故答案為:或者;
【點睛】
本題主要考查了菱形的性質以及矩形的判定與性質、勾股定理,學會分情況討論以及勾股定理求解對角線是解題的關鍵;
三、解答題
5.(2020·江蘇鎮江市·八年級期末)閱讀:頂點在矩形邊上的菱形叫做矩形的內接菱形.八(1)班的宣傳小組A、B、C三名同學在布置班級文化時,他們需要從一張矩形紙片中制作出一個最大的內接菱形.
A說:我會折,橫對折后再豎對折,剪一刀得到一個直角三角形,展開后就是菱形.
B說:我會畫,作一組對邊上兩點連線的垂直平分線,然后連線也可以得到菱形.
C說:我會疊,取兩個大小一樣的矩形紙片,讓兩矩形的長兩兩相交,重疊的部分形成四邊形,則這個四邊形也是菱形.(兩兩相交:一個矩形的兩條長邊與另一個矩形的兩條長邊都相交)
(一)操作與畫圖.
1.在圖1中畫出折、剪、展所得的最大內接菱形,它是菱形的依據是_______.
2.在圖2中用尺規作出所得的最大內接菱形(保留作圖痕跡,不要求寫作法) .
3.在圖3中畫出重疊后的最大內接菱形,并畫出另一矩形的擺放位置.
(二)證明與計算
1.標上必要的字母,證明圖2中操作得到的四邊形是菱形.
2.己知矩形,結合圖1,圖2,圖3,計算此矩形內接菱彤的面積最大值是________.
(三)拓展與應用
如圖,矩形的最大內接菱形的面積是矩形面積的,則________.
【答案】(一)操作與畫圖:1.折圖見解析,四邊相等的四邊形為菱形或對角線垂直且互相平分的四邊形為菱形;2.詳見解析;3.詳見解析;(二)證明與計算:1.詳見解析;2.;(三)拓展與應用:或
【分析】
(一)操作與畫圖:1.利用矩形的軸對稱性質可以折出矩形的最大的內接菱形,由對折可得:,從而可得結論;或由對折可得:從而可得答案;2.連接, 再作的垂直平分線分別與于,從而可得答案;3.如圖,畫矩形與矩形,滿足一條對角線按圖所示重合即可得到答案.
(二)證明與計算:1.先證明,得到 結合,,從而可得結論;2.由圖1的菱形面積等于矩形面積的一半,從而可得答案;圖2,3中,設AF=FC=x, 利用勾股定理求解,從而可得菱形的面積;
(三)拓展與應用:如圖4中,不妨設AB<AD,以AC為菱形的對角線,此時菱形的面積最大,由已知可得設CF=5k,BC=9k,則BF=4k,再利用勾股定理表示,從而分<,>兩種情況求解即可.
【詳解】
解:(一)操作與畫圖.
1.如圖,由對折可得:,
四邊形是菱形.
或:由對折可得:

四邊形是菱形.
所以依據是:四邊相等的四邊形為菱形或對角線垂直且互相平分的四邊形為菱形.
故答案為:四邊相等的四邊形為菱形或對角線垂直且互相平分的四邊形為菱形.
2.連接 再作的垂直平分線分別與于,
則四邊形是所求作的菱形.作圖如下:
3.如圖所示,讓矩形的兩條對角線互相重合,重疊部分是所求作的菱形,
(二)證明與計算:1.證明:由題意知:矩形
,
是的垂直平分線,
,
四邊形為平行四邊形

平行四邊形為菱形
2.解:如圖1中,菱形AECF的面積=.
如圖2,3中,設AF=FC=x,
在Rt中,∵∠B=90°,
∴,

解得
∴菱形AECF的面積=
∵>24,
∴此矩形內接菱形的面積最大值是.
故答案為 .
(三)拓展與應用:
解:如圖4中,不妨設AB<AD,以AC為菱形的對角線,此時菱形的面積最大,
由題意:

設CF=5k,BC=9k,則BF=4k,
在Rt中,
∵∠B=90°,AF=CF=5k,BF=4k,


當AB>AD時,同法可得
故答案為或3:1.
【點睛】
本題屬于四邊形綜合題,考查了矩形的性質,菱形的判定和性質,軸對稱的性質,垂直平分線的性質,三角形的全等的判定與性質,勾股定理的應用等知識,解題的關鍵是理解題意,靈活運用所學知識解決問題,學會用分類討論的思想思考問題.
6.(2018·黑龍江齊齊哈爾市·九年級期末)綜合與實踐
問題背景:
綜合與實踐課上,同學們以兩個全等的三角形紙片為操作對象,進行相一次相關問題的研究. 下面是創新小組在操作過程中研究的問題, 如圖一,△ABC≌△DEF, 其中∠ACB=90°,BC=2,∠A=30°.
操作與發現:
(1)如圖二,創新小組將兩張三角形紙片按如圖示的方式放置,四邊形ACBF的形狀是 ,CF= ;
(2)創新小組在圖二的基礎上,將△DEF紙片沿AB方向平移至圖三的位置,其中點E與AB的中點重合.連接CE,BF.四邊形BCEF的形狀是 ,CF= .
操作與探究 :
(3)創新小組在圖三的基礎上又進行了探究,將△DEF紙片繞點E逆時針旋轉至DE與BC平行的位置,如圖四所示,連接AF, BF. 經過觀察和推理后發現四邊形ACBF也是矩形,請你證明這個結論.
【答案】(1)矩形,4 ;(2)菱形,;(3)詳見解析.
【分析】
(1)由題意及圖形可直接解答;
(2)根據題意及圖形,結合直角三角形的性質定理可直接得到答案;
(3)根據旋轉的性質及題意易得,然后得到四邊形ACBF為平行四邊形,最后問題得證.
【詳解】
(1)如圖所示:
△ABC≌△DEF, 其中∠ACB=90°,BC=2,∠A=30°,
,
,四邊形ACBF是矩形,AB=4,
AB=CF=4;
故答案為:矩形,4 ;
(2)如圖所示:
△ABC≌△DEF, 其中∠ACB=90°,BC=2,∠A=30°,
,
,四邊形ECBF是平行四邊形,
點E與AB的中點重合,CE=BE,是等邊三角形,
EC=BC,四邊形ECBF是菱形,CF與EB互相垂直且平分,
,,
故答案為:菱形,;
(3)證明:如圖所示:






∴為等邊三角形



∴四邊形ACBF為平行四邊形

∴四邊形ACBF為矩形.
【點睛】
本題主要考查特殊平行四邊形的性質及判定、全等三角形的性質,關鍵是由題意圖形的變化及三角形全等的性質得到線段的等量關系,然后結合特殊平行四邊形的判定方法證明即可.
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