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專題20 角含半角模型問題-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練
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專題20  角含半角模型問題-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練01
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專題20 角含半角模型問題-2021年中考數學二輪復習經典問題專題訓練

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角含半角模型,顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含:等腰直角三角形角含半角模型;正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種:旋轉目標三角形法和翻折目標三角形法。
類型一:等腰直角三角形角含半角模型
類型二:正方形中角含半角模型
【典例分析】
例1.(2020·廣西南寧市·九年級期中)(探索發現)如圖①,四邊形ABCD是正方形,M,N分別在邊CD、BC上,且,我們把這種模型稱為“半角模型”,在解決“半角模型”問題時,旋轉是一種常用的方法.如圖①,將繞點A順時針旋轉,點D與點B重合,得到,連接AM、AN、MN.
(1)試判斷DM,BN,MN之間的數量關系,并寫出證明過程.
(2)如圖②,點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上,,連接MN,請寫出MN、DM、BN之間的數量關系,并寫出證明過程.
(3)如圖③,在四邊形ABCD中,AB=AD,,,點N,M分別在邊BC,CD上,,請直接寫出線段BN,DM,MN之間的數量關系.
【答案】(1),證明見解析;(2),證明見解析;(3).
【分析】
(1)根據正方形的性質和旋轉的性質可證≌,利用SAS可證,則可得:;
(2)根據正方形的性質和旋轉的性質可證≌,利用SAS可證,則可得:;
(3)根據正方形的性質和旋轉的性質可證≌,利用SAS可證,則可得:;
【詳解】
證明:(1)如圖①,∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD,=
將繞點A順時針旋轉,得到
∴≌


在和中
∵,

(2)如圖②,將繞點A順時針旋轉,得到
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD,=
∵繞點A順時針旋轉,得到
∴≌

,

在和中
∵,
即:;
(3)如圖,
∵,,,
將繞點A順時針旋轉,得到
∴≌

在和中
;
【點睛】
本題主要考查正方形的性質及全等三角形的判定和性質等知識,利用旋轉法構造全等三角形是解題的關鍵是學會.
例2.(2020·四川成都市·八年級期末)已知,,分別在邊,上取點,,使,過點平行于的直線與過點平行于的直線相交于點.點,分別是射線,上動點,連接,,.
(1)求證:;
(2)如圖,當點,分別在線段,上,且時,請求出線段,,之間的等量關系式;
(3)如圖,當點,分別在,的延長線上,且時,延長交于點,延長交于點.請猜想線段,,之間的等量關系,并證明你的結論.
【答案】(1)見解析;(2);(3),見解析
【分析】
(1)連接,通過,得到為等腰直角三角形,進而得到,根據過點平行于的直線與過點平行于的直線相交于點,可推出,,最后通過證明≌,可以得出結論;
(2)在射線上取點,使,連接,通過證明≌,得到,,再結合,推導證明≌,得到,最后等量代換線段即可求解;
(3)延長到點,使得,連接,通過證明≌,得到,,再結合,推導證明≌,得到,根據,等量代換可知,又因為,推出,進而得到,同理可證,最后根據勾股定理即可求解.
【詳解】
解:(1)證明:連接.
,,
為等腰直角三角形,
,
又,且,
,
,
,
同理,,
在與中
,
≌,
,;
(2)如圖,在射線上取點,使,連接.
在與中
,
≌,
,,
,,
,
,
,
在與中
≌,
,
又,

(3).證明如下:
如圖,延長到點,使得,連接.
,
在與中
,
≌,
,,
,
,
,
,
,
,
在與中
,
≌,
,
≌,
,
,
,
,
,
,
同理可證:,
在中,由勾股定理得:.
【點睛】
本題綜合考查了全等三角形的性質和判定,勾股定理以及正方形的有關知識,通過添加輔助線構造全等三角形,通過證明全等三角形得到線段之間的關系是解題的關鍵.
【好題演練】
一、單選題
1.(2021·上海九年級專題練習)如圖所示,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜邊BC上的兩點,且∠DAE=45°,將△ADC繞點A按順時針方向旋轉90°后得到△AFB,連接EF,有下列結論:①BE=DC;②∠BAF=∠DAC;③∠FAE=∠DAE;④BF=DC.其中正確的有( )
A.①②③④B.②③C.②③④D.③④
二、填空題
2.(2021·上海九年級專題練習)如圖,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠BAC=∠BDC=90°,BC=4,AB=AC,∠CBD=30°,M,N分別在BD,CD上,∠MAN=45°,則△DMN的周長為_____.
三、解答題
3.(2020·黑龍江哈爾濱市·九年級月考)矩形ABCD中,M、N為邊AD上兩點,連接BM、CN,MN=BM=CN,∠BMD=120°.

(1)如圖1,求證:AM=DN;
(2)如圖2,點E、F分別在NC、BC上,∠FME=60°,求證:EF= BF+NE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,過E作EP∥BC交MF于P,2MN=3BF,EP=7,求CE的長.
4.(2020·山東濱州市·八年級期中)在∠MAN內有一點D,過點D分別作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分別為B,C.且BD=CD,點E,F分別在邊AM和AN上.

(1)如圖1,若∠BED=∠CFD,請說明DE=DF;
(2)如圖2,若∠BDC=120°,∠EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的數量關系,并說明你的結論成立的理由.
5.(2020·陜西西安市·七年級期末)(2020?錦州模擬)問題情境:已知,在等邊△ABC中,∠BAC與∠ACB的角平分線交于點O,點M、N分別在直線AC,AB上,且∠MON=60°,猜想CM、MN、AN三者之間的數量關系.
方法感悟:小芳的思考過程是在CM上取一點,構造全等三角形,從而解決問題;
小麗的思考過程是在AB取一點,構造全等三角形,從而解決問題;
問題解決:(1)如圖1,M、N分別在邊AC,AB上時,探索CM、MN、AN三者之間的數量關系,并證明;
(2)如圖2,M在邊AC上,點N在BA的延長線上時,請你在圖2中補全圖形,標出相應字母,探索CM、MN、AN三者之間的數量關系,并證明.
6.(2019·全國九年級專題練習)如圖所示,在中,,,的兩邊交邊于,兩點,將繞點旋轉
(1)畫出繞點順時針旋轉后的;
(2)在(1)中,若,求證:;
(3)在(2)的條件下,若,直接寫出的長.
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