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2021年高中數學培優練習《不等式-最值問題》專項復習(含答案)
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2021年高中數學培優練習《不等式-最值問題》專項復習(含答案)

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這是一份2021年高中數學培優練習《不等式-最值問題》專項復習(含答案),共6頁。試卷主要包含了選擇題,填空題,解答題等內容,歡迎下載使用。

下列函數中,最小值為4的函數是( )
A. B. C.y=ex+4e-x D.y=lg3x+lgx81
設變量x,y滿足約束條件則目標函數z=2x+5y的最小值為( )
A.-4 B.6 C.10 D.17
已知a>0,b>0,a,b的等比中項是1,且m=b+eq \f(1,a),n=a+eq \f(1,b),則m+n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
已知x,y滿足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥1,,x+y≤4,,x+by+c≤0,))目標函數z=2x+y的最大值為7,最小值為1,則b,c的值分別為( )
A.-1,4 B.-1,-3 C.-2,-1 D.-1,-2
下列函數:①y=x+eq \f(1,x)(x≥2);②y=tan x+eq \f(1,tan x);③y=x-3+eq \f(1,x-3).
其中最小值為2的個數有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
已知變量x,y滿足約束條件,若z=x-2y的最大值與最小值分別為a,b,且方程x2-kx+1=0在區間(b,a)上有兩個不同實數解,則實數k的取值范圍是( )
A.(-6,-2) B.(-3,2) C.(-,-2) D.(-,-3)
設a>0,若關于x的不等式≥5在(1,+∞)上恒成立,則a的最小值為( )
A.16 B.9 C.4 D.2
設點P(x,y)在不等式組表示的平面區域上,則的最小值為( )
A.1 B. C.2 D.
二、填空題
已知實數x,y滿足2x﹣y=4,則4x+(0.5)y的最小值為
當x>eq \f(1,2)時,函數y=x+eq \f(8,2x-1)的最小值為________.
已知直線ax-2by=2(a>0,b>0)過圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,則eq \f(4,a+2)+eq \f(1,b+1)的最小值為 .
已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|ax2+bx+c≤0},若A∩B={x|3 已知x<,則函數的最大值為 .
設x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=2,a+eq \r(b)=4,則eq \f(2,x)+eq \f(1,y)的最大值為________.
三、解答題
某廠以x千克/時的速度勻速生產某種產品(生產條件要求1≤x≤10),每小時可獲得的利潤是50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x-\f(3,x)+1))元.
(1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于1 500元,求x的取值范圍.
(2)要使生產480千克該產品獲得的利潤最大,問:該廠應該選取何種生產速度?并求此最大利潤.
某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料.生產1車皮甲種肥料和生產1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數如下表所示:
現有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎上生產甲、乙兩種肥料.
已知生產1車皮甲種肥料,產生的利潤為2萬元;生產1車皮乙種肥料,產生的利潤為3萬元.
分別用x,y表示計劃生產甲、乙兩種肥料的車皮數.
(1)用x,y列出滿足生產條件的數學關系式,并畫出相應的平面區域;
(2)問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮能夠產生最大的利潤?并求出最大利潤.
已知x>0,y>0,且2x+5y=20.
(1)求u=lg x+lg y的最大值;
(2)求eq \f(1,x)+eq \f(1,y)的最小值.
已知二次函數f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)當x∈[﹣1,1]時,不等式:f(x)>2x+m恒成立,求實數m的范圍.
(3)設g(t)=f(2t+a),t∈[﹣1,1],求g(t)的最大值.
\s 0 參考答案
答案為:C;
解析:A、D不能保證是正數之和,sinx取不到2,只有C項滿足兩項均為正,當且僅當x=ln2時等號成立.
答案為:B;
解析:由線性約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分).
當直線2x+5y-z=0過點A(3,0)時,zmin=2×3+5×0=6,故選B.

答案為:B;
解析:由題意知ab=1,∴m=b+eq \f(1,a)=2b,n=a+eq \f(1,b)=2a,∴m+n=2(a+b)≥4eq \r(ab)=4,
當且僅當a=b=1時取等號.
答案為:D;
解析:由題意知,直線x+bx+c=0經過直線2x+y=7與直線x+y=4的交點,
且經過直線2x+y=1和直線x=1的交點,即經過點(3,1)和點(1,-1),
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3+b+c=0,,1-b+c=0,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b=-1,,c=-2.))
答案為:A;
解析:①y=x+eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))≥2,當且僅當x=eq \f(1,x),即x=1時等號成立,由于x≥2,
因此①的最小值不是2;②中tan x可能小于零,最小值不是2;
③中x-3可能小于零,最小值不是2.
答案為:C;
答案為:C;
答案為:D.
答案為:8.
答案為:eq \f(9,2);
解析:設t=2x-1,∵x>eq \f(1,2),∴2x-1>0,即t>0,∴y=eq \f(t+1,2)+eq \f(8,t)=eq \f(t,2)+eq \f(8,t)+eq \f(1,2)≥2eq \r(\f(t,2)·\f(8,t))+eq \f(1,2)=eq \f(9,2).
當且僅當eq \f(t,2)=eq \f(8,t),即t=4, x=eq \f(5,2)時,取等號.
答案為:2.25;
解析:圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心坐標為(2,-1).
由于直線ax-2by=2(a>0,b>0)過圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,故有a+b=1.
∴eq \f(4,a+2)+eq \f(1,b+1)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a+2)+\f(1,b+1)))(a+2+b+1)=eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5+\f(4?b+1?,a+2)+\f(a+2,b+1)))
≥eq \f(5,4)+eq \f(1,4)×2 eq \r(\f(4?b+1?,a+2)·\f(a+2,b+1))=eq \f(9,4),
當且僅當a=2b=eq \f(2,3)時,取等號,故eq \f(4,a+2)+eq \f(1,b+1)的最小值為eq \f(9,4).
答案為:1.5;
答案為:1;
答案為:4;
解析:由x=lga2,y=lgb2,得eq \f(2,x)+eq \f(1,y)=eq \f(2,lga2)+eq \f(1,lgb2)=lg2a2+lg2b=lg2(a2b).
又4=a+eq \r(b)≥2eq \r(a\r(b)),所以a2b≤16,故eq \f(2,x)+eq \f(1,y)=lg2(a2b)≤4.
解:(1)根據題意,有100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x-\f(3,x)+1))≥1 500,
即5x2-14x-3≥0,得x≥3或x≤-eq \f(1,5),
又1≤x≤10,所以3≤x≤10.
(2)設生產480千克該產品獲得的利潤為u元,
則u=24 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5+\f(1,x)-\f(3,x2))),1≤x≤10,
記f(x)=-eq \f(3,x2)+eq \f(1,x)+5(1≤x≤10),則f(x)=-3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)-\f(1,6)))2+eq \f(1,12)+5(1≤x≤10),
當x=6時,f(x)取得最大值eq \f(61,12),此時u=24 000×eq \f(61,12)=122 000,
故該廠以6千克/時的速度生產480千克該產品可獲得最大利潤122 000元.
解:(1)由已知,x,y滿足的數學關系式為,
解析:該二元一次不等式組所表示的平面區域為圖1中的陰影部分:
(2)設利潤為z萬元,則目標函數為z=2x+3y.考慮z=2x+3y,將它變形為y=-x+,這是斜率為-,隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距,當取最大值時,z的值最大.又因為x,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當直線z=2x+3y經過可行域上的點M時,截距最大,即z最大.
解方程組得點M的坐標為(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.
答:生產甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時利潤最大,且最大利潤為112萬元.
解:
(1)∵x>0,y>0,
∴由基本不等式,得2x+5y≥2eq \r(10xy).
∵2x+5y=20,∴2eq \r(10xy)≤20,即xy≤10,
當且僅當2x=5y時等號成立.
因此有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x+5y=20,,2x=5y,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=5,,y=2,))此時xy有最大值10.
∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.
∴當x=5,y=2時,u=lg x+lg y有最大值1.
(2)∵x>0,y>0,
∴eq \f(1,x)+eq \f(1,y)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)+\f(1,y)))·eq \f(2x+5y,20)=eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7+\f(5y,x)+\f(2x,y)))≥eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7+2 \r(\f(5y,x)·\f(2x,y))))=eq \f(7+2\r(10),20),
當且僅當eq \f(5y,x)=eq \f(2x,y)時等號成立.
∴eq \f(1,x)+eq \f(1,y)的最小值為eq \f(7+2\r(10),20).
解:

原料
肥料
A
B
C

4
8
3

5
5
10
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