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2021年高中數學培優練習《空間幾何體》專項復習(含答案)
試卷
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2021年高中數學培優練習《空間幾何體》專項復習(含答案)

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這是一份2021年高中數學培優練習《空間幾何體》專項復習(含答案),共11頁。試卷主要包含了選擇題,填空題,解答題等內容,歡迎下載使用。

長方體ABCD-A1 B1 C1 D1 中,AB=AA1 =2,AD =1,E為 CC1的中點,則異面直線BC1 與AE所成角的余弦值為( ).
A. B. C. D.
如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直接AB與平面MNQ不平行的是( )
如圖,直線PA垂直于圓O所在的平面,△ABC內接于圓O,且AB為圓O的直徑,點M為線段PB的中點.現有以下命題:
①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長.其中真命題的個數為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
如圖,在正四棱錐S﹣ABCD中,E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,動點P在線段MN上運動時,下列四個結論:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥面SBD;④EP⊥面SAC.其中恒成立的為( )
A.①③ B.③④ C.①② D.②③④
如圖,在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點E,F分別是棱BC,CC1的中點,P是側面BCC1B1內一點,若A1P∥平面AEF,則線段A1P長度的取值范圍是( )
A.[1,] B.[,] C.[,] D.[,]
如圖,正方形SG1G2G3中 ,E,F分別是G1G2,G2G3的中點,現在沿SE,SF,EF把這個正方形折成一個四面體,使G1、G2、G3重合,重合后的點記為G.
給出下列關系:①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( ).
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
如圖,在正四面體P-ABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點,下面四個結論中不成立的是( )
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC
如圖,在正方形ABCD中,E、F分別為邊BC,CD的中點,H是EF的中點,現沿AE、AF,EF把這個正方形折成一個幾何體,使B、C、D三點重合于點G,則下列結論中成立的是( )
A.AG⊥平面EFG B.AH⊥平面EFG C.GF⊥平面AEF D.GH⊥平面AEF
將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起,使,則三棱錐D-ABC的體積為( )
A. B. C. D.
如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別是棱BC,CC1的中點,P是側面BCC1B1內一點,若A1P∥平面AEF,則線段A1P長度的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4),\f(\r(5),2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2),\r(2))) D.[eq \r(2),eq \r(3)]
二、填空題
在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD=4,AB=CD=,則BD與平面PAC的位置關系是________; 若二面角A-PC-D的大小為60°,則AP的值為________.
如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高,E,F分別是AC,BC邊的中點.現將△ABC沿CD折疊,使平面ADC⊥平面BDC,如圖2所示,則直線AB與平面DEF的位置關系是________,四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比為________.
如圖,四面體P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,則PC=________,PC與平面ABC所成角的余弦值為________.
如圖,在棱長為1的正方體 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, M 和 N 分別是 A 1 B 1 和 BB 1 的中點,那么直線 AM 與 CN 所成角的余弦值為________.
如圖,棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M為線段A1B上的動點,則下列結論正確的有_________
①三棱錐M﹣DCC1的體積為定值; ②DC1⊥D1M
③∠AMD1的最大值為90°; ④AM+MD1的最小值為2.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 如圖,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,EF∥PA,則圖中直角三角形的個數是_______.
三、解答題
如圖,在直三棱柱中,在棱上.
(1)若D為AA1的中點,求證:平面B1CD⊥平面B1C1D;
(2)若E為AB上的一動點,當三棱錐E-BB1C的體積為,求AE長度.
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,D是AB中點.
(1)證明:AC1//平面B1CD;
(2)若∠ACB=90°,AA1=BC,證明:平面A1C1B⊥平面B1CD.
如圖,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E,F分別為邊AB,AD的中點.現將△ADE沿DE折起,
得四棱錐ABCDE.
(1)求證:EF平面ABC;
(2)若平面ADE⊥平面BCDE,求四面體FDCE的體積.
如圖所示,四邊形EFGH為空間四面體ABCD的一個截面,若截面為平行四邊形.
(1)求證:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;
(2)若AB=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.
如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=eq \r(3).
(1)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
如圖,在三棱錐P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分別是AB,PB的中點.
(1)求證:DE∥平面PAC;
(2)求證:AB⊥PB;
(3)若PC=BC,求二面角P-AB-C的大小.
\s 0 參考答案
B
A【解析】由B,AB∥MQ,則直線AB∥平面MNQ;由C,AB∥MQ,則直線AB∥平面MNQ;由D,AB∥NQ,則直線AB∥平面MNQ.故A不滿足,選A.
D解析:易證BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC;OM∥PA,易證OM∥平面APC;因為BC⊥平面PAC,所以點B到平面PAC的距離等于線段BC的長;故①②③都正確.
A解:如圖所示,連接AC、BD相交于點O,連接EM,EN.
對于(1),由正四棱錐S﹣ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,∴SO⊥AC.
∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD,∵E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,∴EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=N,
∴平面EMN∥平面SBD,∴AC⊥平面EMN,∴AC⊥EP.故正確.
對于(2),由異面直線的定義可知:EP與BD是異面直線,不可能EP∥BD,因此不正確;
對于(3),由(1)可知:平面EMN∥平面SBD,∴EP∥平面SBD,因此正確.
對于(4),由(1)同理可得:EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,則EP∥EM,與EP∩EM=E相矛盾,因此當P與M不重合時,EP與平面SAC不垂直.即不正確.故選:A.
B
答案:B;解析:由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG,排除C、D;若SE⊥平面EFG,則SG∥SE,這與SG∩SE=.S矛盾,排除A,故選B.
【答案】C;
【解析】由題意知BC∥DF,且BC⊥PE,BC⊥AE.∵PE∩AE=E,∴BC⊥平面PAE,
∴BC∥平面PDF成立,DF⊥平面PAE成立,平面PAE⊥平面ABC也成立.
【答案】A;【解析】∵AG⊥GF,AG⊥GE,GF∩GE=G,∴AG⊥平面EFG.
答案:D
答案為:B.
解析:取B1C1的中點M,BB1的中點N,連接A1M,A1N,MN,可以證明平面AMN∥平面AEF,
所以點P位于線段MN上,因為A1M=A1N=eq \r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))=eq \f(\r(5),2),MN=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))=eq \f(\r(2),2),
所以當點P位于M,N處時,A1P的長度最長,當P位于MN的中點O時,A1P的長度最短,
此時A1O=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))\s\up12(2))=eq \f(3\r(2),4),所以A1O≤A1P≤A1M,即eq \f(3\r(2),4)≤A1P≤eq \f(\r(5),2),
所以線段A1P長度的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4),\f(\r(5),2))),選B.
二、填空題
答案為:垂直,;
答案為:平行,;
答案為:7,;
答案為:0.4;
答案為:①②;
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案為:6;
解析:由PA⊥平面ABC,得PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC.
又∵BC⊥AC,AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.
∵EF∥PA,PA⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC,∴EF⊥BE,EF⊥EC,
∴△PAB,△PAC,△ABC,△PBC,△EFC,△BEF均為直角三角形.
解:(1)在面中,因為為中點,
設,可得,
又由,
所以,所以,
因為平面,且平面,
所以,
又由,且平面,
所以平面,
又因為平面,
所以平面平面
(2)如圖所示,過作于點,則,
因為,所以
又因為,且,所以平面,
即平面,
所以,解得,
由,所以為的中點,所以.
解:(1) QUOTE 如圖,設BC1 QUOTE 與B1C相較于點E,連接DE,
由題意可得,D、E分別為AB、BC1的中點,
所以DE是△ABC1的中位線,
所以DE//AC1,
因為,,
所以AC1//平面B1CD;
(2)因為AA1⊥底面A1B1C1,CC1//AA1,
所以CC1⊥底面A1B1C1,
所以CC1⊥A1C1,
因為∠ACB=90°,即∠A1C1B1=90°,所以A1C1⊥B1C1,
又,所以,
所以A1C1⊥B1C,
因為AA1=BC,AA1=CC1,
所以CC1=BC,
在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥B1C1,
所以四邊形BCC1B1是正方形,
所以BC1⊥B1C,
因為,
所以,
因為,
所以平面A1C1B⊥平面B1CD.
(1)證明:如圖,取線段AC的中點M,連結MF,MB.
因為F,M為AD,AC的中點,
所以MFCD,且2MF=CD.
在折疊前,四邊形ABCD為矩形,E為AB的中點,所以BE∥CD,且BE=0.5CD.
所以MFBE,且MF=BE.
所以四邊形BEFM為平行四邊形,故EFBM.
又EF平面ABC,BM平面ABC,
所以EF平面ABC.
(2)在折疊前,四邊形ABCD為矩形,AD2,AB=4,E為AB的中點,
所以ADE,CBE都是等腰直角三角形,且AD=AE=EB=BC=2.
所以∠DEA=∠CEB=45°,且DE=EC=2 SKIPIF 1 < 0 .
又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°,所以∠DEC=90°,即DE⊥CE.
又平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,CE平面BCDE,
所以CE⊥平面ADE,即CE為三棱錐CEFD的高.
因為F為AD的中點,
所以
所以四面體FDCE的體積
解:(1)證明:因為四邊形EFGH為平行四邊形,
所以EF∥HG.
因為HG?平面ABD,EF?平面ABD,
所以EF∥平面ABD.
因為EF?平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,
所以EF∥AB,
所以AB∥平面EFGH.
同理,可證CD∥平面EFGH.
(2)設EF=x(0<x<4),
由(1)知,eq \f(CF,CB)=eq \f(x,4).
則eq \f(FG,6)=eq \f(BF,BC)=eq \f(BC-CF,BC)=1-eq \f(x,4).
從而FG=6-eq \f(3,2)x,
所以四邊形EFGH的周長l=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+6-\f(3,2)x))=12-x.
又0<x<4,則有8<l<12.
即四邊形EFGH的周長的取值范圍是(8,12).
證明:(1)如圖所示,連接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°,知△BCD是等邊三角形.
因為E是CD的中點,
所以BE⊥CD.
又AB∥CD,
所以BE⊥AB.
又因為PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,
所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由(1)知,BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,
所以PB⊥BE.又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=eq \f(PA,AB)=eq \r(3),
則∠PBA=60°.
故二面角A-BE-P的大小是60°.
證明:(1)因為D,E分別是AB,PB的中點,
所以DE∥PA.
又因為PA?平面PAC,DE?平面PAC,
所以DE∥平面PAC.
(2)因為PC⊥底面ABC,AB?底面ABC,
所以PC⊥AB.
又因為AB⊥BC,PC∩BC=C,
所以AB⊥平面PBC,
又因為PB?平面PBC,
所以AB⊥PB.
(3)解:由(2)知,AB⊥PB,AB⊥BC,
所以∠PBC即為二面角P-AB-C的平面角,
因為PC=BC,∠PCB=90°,
所以∠PBC=45°,
所以二面角P-AB-C的大小為45°.
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