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【新教材精創】2.2.2 直線的方程(第1課時)教學設計-人教B版高中數學選擇性必修第一冊
教案
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高中數學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章 平面解析幾何2.2 直線及其方程2.2.2 直線的方程優秀第1課時教案

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這是一份高中數學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章 平面解析幾何2.2 直線及其方程2.2.2 直線的方程優秀第1課時教案,共11頁。教案主要包含了典例解析,達標檢測,小結,課時練等內容,歡迎下載使用。

第1課時 直線的點斜式方程與斜截式方程(教學設計)





本節選自《2019人教B版高中數學選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》,本節課主要學習直線的點斜式方程與斜截式方程


在求直線的方程中,直線方程的點斜式是基本的,直線方程的斜截式、兩點式都是由點斜式推出的。從一次函數y=kx+b(k≠0)引入,自然地過渡到本節課想要解決的問題——求直線的方程問題。在引入過程中,要讓學生弄清直線與方程的一一對應關系,理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手。在推導直線方程的點斜式時,根據直線這一結論,先猜想確定一條直線的條件,再根據猜想得到的條件求出直線的方程。充分體現坐標法建立方程的一般思路,為后續學習圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎。發展學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算的核心素養。











重點:利用點斜式方程和斜截式方程解決相關問題


難點:直線與方程的關系、點斜式方程和斜截式方程的推導





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本課在求直線的方程中,直線方程的點斜式是基本的,直線方程的斜截式、兩點式都是由點斜式推出的。從一次函數y=kx+b(k≠0)引入,自然地過渡到本節課想要解決的問題——求直線的方程問題。在引入過程中,要讓學生弄清直線與方程的一一對應關系,理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手。讓學生初步體會坐標法解決問題的基本思路,并在這一過程中提升邏輯推理、數學抽象等核心素養。


課程目標
學科素養
A. 1.理解直線與方程的關系.


2.理解點斜式方程和斜截式方程的推導,并能明確其適用條件.


3.知道直線的點斜式和斜截式方程的內在聯系和參數含義.


4.能利用直線的點斜式方程和斜截式方程解決一些相關實際問題.(數學運算)
1.數學抽象:直線與方程的關系


2.邏輯推理:點斜式方程和斜截式方程的推導


3.數學運算:根據條件求直線的斜式和斜截式方程



教學過程
教學設計意圖


核心素養目標
問題導學


設l1,l2是平面直角坐標系中的直線,分別判斷滿足下列條件的l1,l2是否唯一,如果唯一,作出相應的直線,并思考直線上任意一點的坐標(x, y)應滿足什么條件?


(1)已知l1的斜率不存在;


(2)已知l1的斜率不存在,且l1過點A(-2,1);


(3)已知l2的斜率為3;


(4)已知l2的斜率為3且l2過點B(1,2);


滿足條件1的直線l1有無數條,但滿足條件2的直線l1是唯一的,此時若P(x,y)為直線l1上的點,則必有x=-2,另外,任意橫坐標為-2的點,一定都在直線l1上。





問題1 在平面直角坐標系內,如果一條直線l經過的一個定點P0(x0,y0),其斜率為k,能否將直線上所有的點的坐標(x,y)滿足的關系表示出來呢?


提示可以利用斜率公式k=y-y0x-x0得出y-y0=k(x-x0).








1.直線與方程


一般地,如果直線l上點的坐標都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都在直線l上,則稱F(x,y)=0為直線l的方程,而直線l稱為方程F(x,y)=0的直線.此時,為了簡單起見,“直線l”也可說成“直線F(x,y)=0”,并且記作l:F(x,y)=0.


1.判斷


(1)如圖所示,線段AB的方程為y=x+1.( )


(2)在平面直角坐標系中,y軸所在直線方程為y=0.( )








答案:(1)× (2)×


2.直線的點斜式方程






點斜式

已知條件
點P(x0,y0)和斜率k

圖示


方程形式
y-y0=k(x-x0)

適用條件
斜率存在




2.判斷


直線y-3=m(x+9)恒過定點(9,-3).( )


答案:×


3.過點(1,1)且傾斜角為45°的直線的點斜式方程為 .


答案:y-1=x-1


4.方程y-y0x-x0=k和y-y0=k(x-x0)表示同一條直線嗎?


提示:方程y-y0x-x0=k和y-y0=k(x-x0)不表示同一條直線,前者表示的直線缺少一個點P0(x0,y0).


3.直線的斜截式方程



斜截式

已知條件
斜率k和直線在y軸上的截距b

圖示


方程式
y=kx+b

適用條件
斜率存在




點睛:(1)用斜截式求直線方程,只要確定直線的斜率和截距即可,同時要特別注意截距和距離的區別.


(2)直線的斜截式方程y=kx+b不僅形式簡單,而且特點明顯,k是直線的斜率,b是直線在y軸上的截距,只要確定了k和b的值,直線的圖像就一目了然.因此,在解決直線的圖像問題時,常通過把直線方程化為斜截式方程,利用k,b的幾何意義進行判斷.


5.判斷


(1)直線在y軸上的截距是直線與y軸交點到原點的距離. ( )


(2)直線y=kx-b在y軸上的截距為b. ( )


答案:(1)× (2)×


6.已知直線的斜率是2,且在y軸上的截距是-3,則此直線的方程是( )


A.y=2x-3 B.y=2x+3


C.y=-2x-3D.y=-2x+3


答案:A


7.直線y=kx+b通過第一、三、四象限,則有( )


A.k>0,b>0 B.k>0,b<0


C.k<0,b>0 D.k<0,b<0


答案:B


二、典例解析


例1求滿足下列條件的直線的方程:


(1)過點P(-4,3),斜率k=-2;


(2)過點P(2,-5),且與x軸平行;


(3)過點P(3,-1),且與y軸平行.


分析利用直線的點斜式方程及特殊位置的直線表示形式解答.


解:(1)直線過點P(-4,3),斜率k=-2,由點斜式得y-3=-2(x+4),


整理得所求方程為2x+y+5=0.


(2)直線過點P(2,-5),且與x軸平行,則斜率k=0,


故所求直線方程為y+5=0(x-2),即y=-5.


(3)直線與y軸平行,說明斜率不存在,


又因為直線過點P(3,-1),所以直線的方程為x=3.


利用點斜式求直線方程的步驟


(1)確定直線要經過的定點(x0,y0);


(2)明確直線的斜率k;


(3)由點斜式直接寫出直線方程.


注意:點斜式使用的前提條件是斜率存在,當斜率不存在時,直線沒有點斜式方程,其方程為x=x0.


跟蹤訓練1 求斜率是直線x-y+1=0的斜率的3倍,且分別滿足下列條件的直線方程.


(1)經過點P(3,4);


(2)在x軸上的截距是-5.


解:由x-y+1=0,得y=x+1,


∴直線x-y+1=0的斜率為1.


由題意可得,所求直線的斜率k=3.


(1)所求直線的方程是y-4=3(x-3),即3x-y-5=0.


(2)由題意知直線經過點(-5,0),


所求直線的方程是y-0=3(x+5),即3x-y+15=0.


例2 已知直線l的斜率為2,在y軸上的截距為m.


(1)求直線l的方程;


(2)當m為何值時,直線通過(1,1)點?


分析(1)直接套用直線的斜截式方程;(2)將點(1,1)代入所設方程求m.


解:(1)利用直線的斜截式方程,可得方程為y=2x+m.


(2)只需將點(1,1)代入直線y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.


變式練習 (1)將本例的條件“在y軸上的截距為m”改為“在x軸上的截距為m”,如何求直線的方程?


(2)將本例的條件不變,試問m為何值時,直線與坐標軸所圍成的三角形的面積為1?


解:(1)直線在x軸上的截距為m,即直線過點(m,0),又已知直線的斜率為2,


則由直線的點斜式方程,可得所求直線方程為y-0=2(x-m),即y=2x-2m.


(2)由題意知直線方程為y=2x+m.故直線在兩坐標軸上的截距分別為-m2,m,所以直線與坐標軸所圍成的三角形的面積為12×-m2·|m|=1,解得m=±2.


對直線的斜截式方程的理解要注意以下幾點:


(1)由直線的斜截式方程的推導過程可以看出,在點斜式中若點P(x0,y0)為直線l與y軸的交點,得到的直線方程即為斜截式,因此斜截式為點斜式的特殊情況.


(2)直線與x軸垂直時,斜率不存在,不能用直線方程的斜截式表示.因此,斜截式方程不能表示與x軸垂直的直線.


(3)斜截式方程y=kx+b的特點:左端y的系數恒為1,右端x的系數k和常數項b均有明顯的幾何意義,k是直線的斜率,b是直線在y軸上的截距,截距實質上為直線與y軸交點的縱坐標,直線與y軸的交點與原點的距離為|b|.









通過問題思考,引導學生發現,通過斜率和一個點可確定一條直線,開門見山,引出學習的課題。







































































通過直線與方程的關系討論,讓學生體會曲線與方程的對應關系。進而推導出直線的點斜式方程。進一步體會運用代數法和幾何法解決問題的特點,發展學生數學運算,數學抽象和數學建模的核心素養。


















































































































































在典例分析和練習中運用直線點斜式和斜截式方程,發展學生邏輯推理,直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。
















































































通過直線方程求解,熟悉直線點斜式和斜截式方程的算法及適用范圍。提升學生數形結合的思想,發展學生邏輯推理,直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。



三、達標檢測


1.已知直線的方程是y+2=-x-1,則( )


A.直線經過點(-1,2),斜率為-1


B.直線經過點(2,-1),斜率為-1


C.直線經過點(-1,-2),斜率為-1


D.直線經過點(-2,-1),斜率為1


解析:由y+2=-x-1,得y+2=-(x+1),所以直線的斜率為-1,過點(-1,-2).


答案:C


2.已知直線l的方程為y+274=94(x-1),則l在y軸上的截距為( )


A.9B.-9


C.274D.-274


解析:由y+274=94(x-1),得y=94x-9,


∴l在y軸上的截距為-9.


答案:B


3.已知直線的傾斜角為60°,在y軸上的截距為-2,則此直線的方程為( )


A.y=3x+2B.y=-3x+2


C.y=-3x-2D.y=3x-2


解析:∵α=60°,∴k=tan 60°=3,∴直線l的方程為y=3x-2.


答案:D


4.與直線y=2x+1垂直,且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程為( )


A.y=12x+4B.y=2x+4


C.y=-2x+4D.y=-12x+4


解析:由題意可設所求直線方程為y=kx+4,又由2k=-1,得k=-12,∴所求直線方程為y=-12x+4.


答案:D


5.已知直線l過點P(2,1),且直線l的斜率為直線x-4y+3=0的斜率的2倍,則直線l的點斜式方程為 .


解析:由x-4y+3=0,得y=14x+34,其斜率為14,


故所求直線l的斜率為12,又直線l過點P(2,1),


所以直線l的點斜式方程為y-1=12(x-2).


答案:y-1=12(x-2)


6.已知直線l的斜率與直線3x-2y=6的斜率相等,且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1,求直線l的斜截式方程.


解:由題意知,直線l的斜率為32,


故設直線l的方程為y=32x+b,


l在x軸上的截距為-23b,在y軸上的截距為b,


所以-23b-b=1,b=-35,


所以直線l的斜截式方程為y=32x-35.



通過練習鞏固本節所學知識,通過學生解決問題,發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養。












四、小結





五、課時練



通過總結,讓學生進一步鞏固本節所學內容,提高概括能力。
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