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(新)北師大版數學必修第一冊教學講義:第7章 §2 2.2 古典概型的應用(一)
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北師大版 (2019)必修 第一冊第七章 概率2 古典概型2.2 古典概型的應用公開課教案

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這是一份北師大版 (2019)必修 第一冊第七章 概率2 古典概型2.2 古典概型的應用公開課教案,共9頁。

2.2 古典概型的應用(一)














互斥事件的概率加法公式


(1)在一個試驗中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=P(A)+P(B).特別地,P(A)=1-P( eq \x\t(A)).


(2)一般地,如果事件A1,A2,…,An是互斥事件,那么有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).


思考:(1)設事件A發生的概率為P(A),事件B發生的概率為P(B),那么事件A+B發生的概率是P(A)+P(B)嗎?


[提示] 不一定.當事件A與B互斥時,P(A+B)=P(A)+P(B);當事件A與B不互斥時,P(A+B)≠P(A)+P(B).


(2)從某班任選6名同學作為志愿者參加市運動會服務工作,記 “其中至少有3名女同學”為事件A,那么事件A的對立事件 eq \x\t(A)是什么?


[提示] 事件A的對立事件 eq \x\t(A)是“其中至多有2名女同學”.





1. 口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是( )


A.0.42 B.0.28


C.0.3 D.0.7


C [∵“摸出黑球”是“摸出紅球或摸出白球”的對立事件,∴“摸出黑球”的概率是1-0.42-0.28=0.3,故選C.]


2.甲、乙兩隊進行足球比賽,若兩隊戰平的概率是 eq \f(1,4),乙隊勝的概率是 eq \f(1,3),則甲隊勝的概率是________.


eq \f(5,12) [記甲隊勝為事件A,


則P(A)=1- eq \f(1,4)- eq \f(1,3)= eq \f(5,12).]


3.中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽,甲奪得冠軍的概率為 eq \f(3,7),乙奪得冠軍的概率為 eq \f(1,4),那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________.


eq \f(19,28) [由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”,但這兩個事件不可能同時發生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算,即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為 eq \f(3,7)+ eq \f(1,4)= eq \f(19,28).]








互斥事件的概率加法公式及應用


【例1】 一盒中裝有各色球12個,其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球.從中隨機取出1球,求:


(1)取出1球是紅球或黑球的概率;


(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.


[解] 法一:(1)從12個球中任取1球得紅球有5種取法,得黑球有4種取法,得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法,任取1球有12種取法.


∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1= eq \f(9,12)= eq \f(3,4).


(2)從12個球中任取1球得紅球有5種取法,得黑球有4種取法,得白球有2種取法,從而得紅球或黑球或白球的概率為 eq \f(5+4+2,12)= eq \f(11,12).


法二:(利用互斥事件求概率)


記事件A1={任取1球為紅球},A2={任取1球為黑球},


A3={任取1球為白球},A4={任取1球為綠球},則P(A1)= eq \f(5,12),P(A2)= eq \f(4,12),P(A3)= eq \f(2,12),P(A4)= eq \f(1,12).


根據題意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式,得


(1)取出1球為紅球或黑球的概率為


P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= eq \f(5,12)+ eq \f(4,12)= eq \f(3,4).


(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為


P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= eq \f(5,12)+ eq \f(4,12)+ eq \f(2,12)= eq \f(11,12).


法三:(利用對立事件求概率)


(1)由法二知,取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球,即A1∪A2的對立事件為A3∪A4,所以取得1球為紅球或黑球的概率為


P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1- eq \f(2,12)- eq \f(1,12)= eq \f(9,12)= eq \f(3,4).


(2)A1∪A2∪A3的對立事件為A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1- eq \f(1,12)= eq \f(11,12).





概率公式的應用


(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)是一個非常重要的公式,運用該公式解題時,首先要分清事件間是否互斥,同時要學會把一個事件分拆為幾個互斥事件,然后求出各事件的概率,用加法公式得出結果.


(2)當直接計算符合條件的事件個數比較煩瑣時,可間接地先計算出其對立事件的個數,求得對立事件的概率,然后利用對立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1,求出符合條件的事件的概率.





eq \a\vs4\al([跟進訓練])


1.在數學考試中,小王的成績在90分以上(含90分)的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求:


(1)小王在數學考試中取得80分以上(含80分)成績的概率;


(2)小王數學考試及格的概率.


[解] 設小王的成績在90分以上(含90分)、在80~89分、在60分以下(不含60分)分別為事件A,B,C,且A,B,C兩兩互斥.


(1)設小王的成績在80分以上(含80分)為事件D,則D=A+B,


所以P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.18+0.51=0.69.


(2)設小王數學考試及格為事件E,由于事件E與事件C為對立事件,


所以P(E)=1-P(C)=1-0.07=0.93.





有序和無序型問題


【例2】 從含有兩件正品a1,a2和一件次品b的三件產品中,每次任取一件.


(1)若每次取后不放回,連續取兩次,求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率;


(2)若每次取后放回,連續取兩次,求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率.


[解] (1)每次取出一個,取后不放回地連續取兩次,其一切可能的結果組成的樣本點有6個,即(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2).其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產品,右邊的字母表示第2次取出的產品.總的事件個數為6,而且可以認為這些樣本點是等可能的.


用A表示“取出的兩件中恰有一件次品”這一事件,


所以A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.


因為事件A由4個樣本點組成,所以P(A)= eq \f(4,6)= eq \f(2,3).


(2)有放回地連續取出兩件,其所有可能的結果為(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b),共9個樣本點組成.由于每一件產品被取到的機會均等,因此可以認為這些樣本點的出現是等可能的.用B表示“恰有一件次品”這一事件,則B={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.事件B由4個樣本點組成,因而P(B)= eq \f(4,9).





解決有序和無序問題應注意兩點


(1)關于不放回抽樣,計算樣本點個數時,既可以看做是有順序的,也可以看做是無順序的,其最后結果是一致的.但不論選擇哪一種方式,觀察的角度必須一致,否則會產生錯誤.


(2)關于有放回抽樣,應注意在連續取出兩次的過程中,因為先后順序不同,所以(a1,b),(b,a1)不是同一個樣本點.解題的關鍵是要清楚無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”,每一件產品被取出的機會都是均等的.





eq \a\vs4\al([跟進訓練])


2.一個袋中裝有四個形狀、大小完全相同的球,球的編號分別為1,2,3,4.


(1)從袋中隨機取兩個球,求取出的球的編號之和不大于4的概率;


(2)先從袋中隨機取一個球,該球的編號為m,將球放回袋中,然后再從袋中隨機取一個球,該球的編號為n,求n<m+2的概率.


[解] (1)從袋中隨機取兩個球,其一切可能的結果組成的樣本點有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個.從袋中取出的兩個球的編號之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2個,因此所求事件的概率為P= eq \f(2,6)= eq \f(1,3).


(2)先從袋中隨機取一個球,記下編號為m,放回后,再從袋中隨機取一個球,記下編號為n,其一切可能的結果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個.


又滿足條件n≥m+2的有:(1,3),(1,4),(2,4),共3個.


所以滿足條件n≥m+2的事件的概率為P1= eq \f(3,16),


故滿足條件n<m+2的事件的概率為1-P1=1- eq \f(3,16)= eq \f(13,16).





較復雜的古典概型問題


[探究問題]


1.計算樣本點的個數的方法包含哪些?


提示:列舉法,列表法和樹狀圖法等.


2.列表法和樹狀圖法分別適用于什么情形?


提示:列表法適合于較簡單的試驗的題目,樣本點較多的試驗不適合用列表法;樹狀圖法適合于較復雜的試驗的題目.


【例3】 有A,B,C,D四位貴賓,應分別坐在a,b,c,d四個席位上,現在這四人均未留意,在四個席位上隨便就坐時.


(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率;


(2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率.


[思路點撥] eq \x(利用樹狀圖法列舉事件)→ eq \x(計算樣本點個數)→ eq \x(利用古典概型概率公式計算概率)


[解] 將A,B,C,D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來:





如上圖所示,本題中的樣本點的總數為24.


(1)設事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”,則事件A只包含1個樣本點,所以P(A)= eq \f(1,24).


(2)設事件B為“這四個人恰好都沒有坐在自己席位上”,則事件B包含9個樣本點,所以P(B)= eq \f(9,24)= eq \f(3,8).





1.求這四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.


[解] 設事件C為“這四個人恰有1位坐在自己席位上”,則事件C包含8個樣本點,所以P(C)= eq \f(8,24)= eq \f(1,3).


2.求這四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率.


[解] 法一:設事件D為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上”,事件E為“這四人中有2人坐在自己的席位上”,則事件E包含6個樣本點,則D=A+E, 且事件A與E為互斥事件,所以P(D)=P(A+E)=P(A)+P(E)= eq \f(1,24)+ eq \f(6,24)= eq \f(7,24).


法二:設事件D為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上”,則 eq \x\t(D)=B+C,所以P(D)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C)=1- eq \f(3,8)- eq \f(1,3)= eq \f(7,24).





1.當事件個數沒有很明顯的規律,并且涉及的樣本點又不是太多時,我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來,這是進行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準確地列出所有的樣本點,并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況.


2.在求概率時,若事件可以表示成有序數對的形式,則可以把全體樣本點用平面直角坐標系中的點表示,即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數.故采用數形結合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀,給問題的解決帶來方便.











1.互斥事件概率的加法公式是一個很基本的計算公式,解題時要在具體的情景中判斷各事件間是否互斥,只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).


2.求復雜事件的概率通常有兩種方法:


(1)將所求事件轉化成彼此互斥事件的并事件;


(2)先求其對立事件的概率,再求所求事件的概率.





1.思考辨析(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)


(1)若A與B為互斥事件,則P(A)+P(B)=1.( )


(2)若P(A)+P(B)=1,則事件A與B為對立事件.( )


(3)某班統計同學們的數學測試成績,事件“所有同學的成績都在60分以上”的對立事件為“所有同學的成績都在60分以下”.( )


[提示] (1)錯誤.只有當A與B為對立事件時,P(A)+P(B)=1.


(2)錯誤.


(3)錯誤.事件“所有同學的成績都在60分以上”的對立事件為“至少有一個同學的成績在60分以下”.


[答案] (1)× (2)× (3)×


2.甲、乙兩名乒乓球運動員在一場比賽中甲獲勝的概率是0.2,若不出現平局,那么乙獲勝的概率為( )


A.0.2 B.0.8 C.0.4 D.0.1


B [乙獲勝的概率為1-0.2=0.8.]


3.如圖所示,靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環Ⅱ、Ⅲ構成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35、0.30、0.25,則不中靶的概率是________.





0.10 [令“射手命中圓面Ⅰ”為事件A,“命中圓環Ⅱ”為事件B,“命中圓環Ⅲ”為事件C,“不中靶”為事件D,則A、B、C彼此互斥,故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因為中靶和不中靶是對立事件,故不中靶的概率為P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.]


4.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的點數分別為x,y,求lg2xy=1的概率.


[解] 由lg2xy=1,得2x=y,其中x,y∈{1,2,3,4,5,6},所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=1,,y=2))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=2,,y=4))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=3,,y=6))共3種情況,所以P= eq \f(3,36)= eq \f(1,12).學 習 目 標
核 心 素 養
1.理解互斥事件概率加法公式、對立事件的概率公式,并能應用公式解決應用問題.(重點、易混點)


2.掌握較復雜的古典概型的概率計算問題的解法.(重點、難點)
1.通過對互斥事件概率加法公式、對立事件的概率公式的推導和應用,培養數學抽象素養.


2.通過解決較復雜的古典概型的概率問題,培養數學建模素養.
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