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新人教A版必修第一冊教學講義:5-5-2-2第2課時三角恒等變換的應用(含答案)
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數學必修 第一冊5.5 三角恒等變換精品第2課時2課時教案設計

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這是一份數學必修 第一冊5.5 三角恒等變換精品第2課時2課時教案設計,共15頁。

第2課時 三角恒等變換的應用








題型一 三角恒等變換與三角函數性質的綜合


【典例1】 已知函數f(x)=eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))+2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))(x∈R).


(1)求函數f(x)的最小正周期;


(2)求使函數f(x)取得最大值的x的集合.


[思路導引] 先降冪,再用輔助角公式化為Asin(ωx+φ)的形式,從而研究三角函數的性質.


[解] (1)∵f(x)=eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))+2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))


=eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))))+1-cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))))


=2eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))))-\f(1,2)cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))))))+1


=2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))-\f(π,6)))+1


=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))+1,


∴f(x)的最小正周期為T=eq \f(2π,2)=π.


(2)當f(x)取得最大值時,sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))=1,


有2x-eq \f(π,3)=2kπ+eq \f(π,2),即x=kπ+eq \f(5π,12)(k∈Z),


∴所求x的集合為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x=kπ+\f(5π,12),k∈Z)).











(1)為了研究函數的性質,往往要充分利用三角變換公式轉化為正弦型(余弦型)函數,這是解決問題的前提.


(2)解此類題時要充分運用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉換公式消除差異,減少角的種類和函數式的項數,為討論函數性質提供保障.





[針對訓練]


1.已知函數f(x)=2eq \r(3)sin(x-3π)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,2)))+2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(5π,2)))-1,x∈R.


(1)求函數f(x)的最小正周期及在區間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))上的最大值和最小值;


(2)若f(x0)=eq \f(6,5),x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),求cs2x0的值.


[解] f(x)=eq \r(3)(2sinxcsx)+(2cs2x-1)


=eq \r(3)sin2x+cs2x=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))).


(1)f(x)的最小正周期為π;最大值為2,最小值為-1.


(2)由(1)可知f(x0)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0+\f(π,6))).


又∵f(x0)=eq \f(6,5),∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0+\f(π,6)))=eq \f(3,5).


由x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),得2x0+eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3),\f(7π,6))),


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0+\f(π,6)))=-eq \r(1-sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0+\f(π,6))))=-eq \f(4,5),


cs2x0=cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0+\f(π,6)))-\f(π,6)))


=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0+\f(π,6)))cseq \f(π,6)+sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0+\f(π,6)))sineq \f(π,6)


=eq \f(3-4\r(3),10).


題型二 三角恒等變換在實際生活中的應用


【典例2】 有一塊以O為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上劃出一個內接矩形ABCD開辟為綠地,使其一邊AD落在半圓的直徑上,另外兩點B,C落在半圓的圓周上,已知半圓的半徑長為a,如何選擇關于點O對稱的點A,D的位置,可以使矩形ABCD的面積最大?


[思路導引] 在△AOB中利用∠AOB表示OA,AB的長,然后表示出矩形面積:2OA·OB,從而得到面積與角間的函數關系,再通過求函數的最值得到面積的最值.


[解] 畫出圖象如右圖所示,設∠AOB=θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))))),





則AB=asinθ,OA=acsθ.


設矩形ABCD的面積為S,則S=2OA·AB,即S=2acsθ·asinθ=a2·2sinθcsθ=a2sin2θ.


∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴2θ∈(0,π),當2θ=eq \f(π,2),即θ=eq \f(π,4)時,Smax=a2,此時,A,D距離O點都為eq \f(\r(2),2)a.














解決實際問題應首先設定主變量角α以及相關的常量與變量,建立含有角α的三角函數關系式,再利用三角函數的變換、性質等進行求解.求三角函數最值的問題,一般需利用三角函數的有界性來解決.

















[針對訓練]


2.某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內接長方形桌面,若扇形的半徑長為1 m,求割出的長方形桌面的最大面積(如右圖).





[解] 連接OC,設∠COB=θ,則0°<θ<45°,


OC=1.


∵AB=OB-OA=csθ-AD





=csθ-sinθ,


∴S矩形ABCD=AB·BC


=(csθ-sinθ)·sinθ


=-sin2θ+sinθcsθ


=-eq \f(1,2)(1-cs2θ)+eq \f(1,2)sin2θ


=eq \f(1,2)(sin2θ+cs2θ)-eq \f(1,2)=eq \f(\r(2),2)cs(2θ-45°)-eq \f(1,2).


當2θ-45°=0°,即θ=22.5°時,Smax=eq \f(\r(2)-1,2) (m2).


∴割出的長方形桌面的最大面積為eq \f(\r(2)-1,2) m2.


課堂歸納小結


1.輔助角公式asinx+bcsx=eq \r(a2+b2)sin(x+φ),其中φ滿足:(1)φ與點(a,b)同象限;(2)tanφ=eq \f(b,a)(或sinφ=eq \f(b,\r(a2+b2)),csφ=eq \f(a,\r(a2+b2))).


2.研究形如f(x)=asinx+bcsx的函數性質,都要運用輔助角公式化為一個整體角的正弦函數或余弦函數的


形式.因此輔助角公式是三角函數中應用較為廣泛的一個重要公式,也是高考??嫉目键c之一.對一些特殊的系數a,b應熟練掌握,例如sinx±csx=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,4)));sinx±eq \r(3)csx=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,3)))等.





1.若函數f(x)=sin2x-eq \f(1,2)(x∈R),則f(x)是( )


A.最小正周期為eq \f(π,2)的奇函數


B.最小正周期為π的奇函數


C.最小正周期為2π的偶函數


D.最小正周期為π的偶函數


[解析] ∵f(x)=eq \f(1-cs2x,2)-eq \f(1,2)=-eq \f(1,2)cs2x


∴最小正周期T=eq \f(2π,2)=π,且為偶函數.


[答案] D


2.函數y=eq \f(1,2)sin2x+sin2x,x∈R的值域是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(3,2)))


B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),\f(1,2)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(\r(2),2)+\f(1,2),\f(\r(2),2)+\f(1,2)))


D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(\r(2),2)-\f(1,2),\f(\r(2),2)-\f(1,2)))


[解析] y=eq \f(1,2)sin2x+eq \f(1-cs2x,2)=eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4)))+eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(\r(2),2)+\f(1,2),\f(\r(2),2)+\f(1,2))),故選C.


[答案] C


3.函數f(x)=sinx(csx-sinx)的最小正周期是( )


A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.π D.2π


[解析] 由f(x)=sinx(csx-sinx)=sinxcsx-sin2x=eq \f(1,2)sin2x-eq \f(1-cs2x,2)=eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))-eq \f(1,2),可得函數f(x)的最小正周期為T=eq \f(2π,2)=π,故選C.


[答案] C


4.函數f(x)=sinx-csx,x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))的最小值為______.


[解析] ∵f(x)=eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sinx-\f(\r(2),2)csx))


=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,4))),


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴x-eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,4),\f(π,4))),


∴f(x)的最小值為eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,4)))=-1


[答案] -1


課后作業(五十三)


復習鞏固


一、選擇題


1.函數f(x)=sin2x+eq \r(3)sinxcsx在區間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))上的最大值是( )


A.1 B.2 C.eq \f(3,2) D.3


[解析] ∵f(x)=sin2x+eq \r(3)sinxcsx


=eq \f(1-cs2x,2)+eq \f(\r(3),2)sin2x


=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))+eq \f(1,2).


又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),∴2x-eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(5π,6))),


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))+eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1,\f(3,2))).


即f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1,\f(3,2))).


故f(x)在區間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))上的最大值為eq \f(3,2).


故選C.


[答案] C


2.使函數f(x)=sin(2x+θ)+eq \r(3)cs(2x+θ)為奇函數的θ的一個值是( )


A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)


[解析] f(x)=sin(2x+θ)+eq \r(3)cs(2x+θ)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)+θ)).當θ=eq \f(2,3)π時,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x是奇函數.


[答案] D


3.函數f(x)=sinx-eq \r(3)csx(x∈[-π,0])的單調遞增區間是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-π,-\f(5π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(5π,6),-\f(π,6)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,3),0)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,6),0))


[解析] ∵f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3))),


∴f(x)的單調遞增區間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ-\f(π,6),2kπ+\f(5,6)π))(k∈Z).


令k=0得增區間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,6),\f(5,6)π)).


∵x∈[-π,0],


∴f(x)的單調遞增區間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,6),0)),故選D.


[答案] D


4.設函數f(x)=eq \r(3)cs2ωx+sinωxcsωx+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為eq \f(π,6).則ω的值為( )


A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)


[解析] f(x)=eq \f(\r(3),2)cs2ωx+eq \f(1,2)sin2ωx+eq \f(\r(3),2)+a=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx+\f(π,3)))+eq \f(\r(3),2)+a,依題意得2ω·eq \f(π,6)+eq \f(π,3)=eq \f(π,2),解之得ω=eq \f(1,2).


[答案] B


5.已知函數f(x)=eq \f(cs2x-1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0

A.函數f(x)的最大值為eq \r(3),無最小值


B.函數f(x)的最小值為-eq \r(3),最大值為0


C.函數f(x)的最大值為eq \f(\r(3),3),無最小值


D.函數f(x)的最小值為-eq \r(3),無最大值


[解析] 因為f(x)=eq \f(cs2x-1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,2))))=eq \f(cs2x-1,sin2x)=eq \f(-2sin2x,2sinxcsx)=-tanx,0

[答案] D


二、填空題


6.函數f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4)))-2eq \r(2)sin2x的最小正周期是________.


[解析] f(x)=eq \f(\r(2),2)sin2x-eq \f(\r(2),2)cs2x-eq \r(2)(1-cs2x)


=eq \f(\r(2),2)sin2x+eq \f(\r(2),2)cs2x-eq \r(2)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))-eq \r(2),


所以T=eq \f(2π,2)=π.


[答案] π


7.在△ABC中,若3cs2eq \f(A-B,2)+5sin2eq \f(A+B,2)=4,則tanAtanB=________.


[解析] 因為3cs2eq \f(A-B,2)+5sin2eq \f(A+B,2)=4,


所以eq \f(3,2)cs(A-B)-eq \f(5,2)cs(A+B)=0,


所以eq \f(3,2)csAcsB+eq \f(3,2)sinAsinB-eq \f(5,2)csAcsB+


eq \f(5,2)sinAsinB=0,


即csAcsB=4sinAsinB,所以tanAtanB=eq \f(1,4).


[答案] eq \f(1,4)


8.f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(3,2)π))-3csx的最小值為________.


[解析] f(x)=-cs2x-3csx=-2cs2x-3csx+1=-2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx+\f(3,4)))2-eq \f(1,8)


∵-1≤csx≤1,∴當csx=1時,f(x)min=-4.


[答案] -4


三、解答題


9.已知函數f(x)=(2cs2x-1)sin2x+eq \f(1,2)cs4x.


(1)求f(x)的最小正周期及最大值;


(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),且f(α)=eq \f(\r(2),2),求α的值.


[解] (1)∵f(x)=(2cs2x-1)sin2x+eq \f(1,2)cs4x


=cs2xsin2x+eq \f(1,2)cs4x


=eq \f(1,2)(sin4x+cs4x)


=eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x+\f(π,4))),


∴f(x)的最小正周期為eq \f(π,2),最大值為eq \f(\r(2),2).


(2)∵f(α)=eq \f(\r(2),2),∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α+\f(π,4)))=1,


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),


∴4α+eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4),\f(17π,4))).


∴4α+eq \f(π,4)=eq \f(5π,2),故α=eq \f(9π,16).


10.已知f(x)=5sinxcsx-5eq \r(3)cs2x+eq \f(5,2)eq \r(3)(x∈R).


(1)求f(x)的單調遞增區間;


(2)求f(x)的對稱軸、對稱中心.


[解] f(x)=eq \f(5,2)sin2x-5eq \r(3)×eq \f(1+cs2x,2)+eq \f(5\r(3),2)


=eq \f(5,2)sin2x-eq \f(5\r(3),2)cs2x=5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3))).


(1)f(x)的單調遞增區間是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,12)+kπ,\f(5,12)π+kπ))(k∈Z).


(2)對稱軸方程是:x=eq \f(1,2)kπ+eq \f(5,12)π,(k∈Z);對稱中心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)kπ+\f(π,6),0))(k∈Z).


綜合運用


11.函數y=cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))+sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,12)))-1( )


A.是奇函數


B.是偶函數


C.既是奇函數又是偶函數


D.既不是奇函數又不是偶函數


[解析] y=eq \f(1+cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6))),2)+eq \f(1-cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))),2)-1


=eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))-cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))))


=eq \f(1,2)sin2x,是奇函數.故選A.


[答案] A


12.在△ABC中,若sinAsinB=cs2eq \f(C,2),則△ABC是( )


A.等邊三角形 B.等腰三角形


C.不等邊三角形 D.直角三角形


[解析] 由已知得,sinAsinB=eq \f(1+csC,2),


又∵csC=-cs(A+B),∴2sinAsinB+cs(A+B)=1,∴cs(A-B)=1,∵0

∴△ABC是等腰三角形,故選B.


[答案] B


13.我國古代數學家趙爽的弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖).如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為θ,那么cs2θ的值等于________.





[解析] 題圖中小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,故每個直角三角形的面積為6.設直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2+b2=25,,\f(1,2)ab=6,))所以兩條直角邊的長分別為3,4.則csθ=eq \f(4,5),cs2θ=2cs2θ-1=eq \f(7,25).


[答案] eq \f(7,25)


14.已知A+B=eq \f(2π,3),那么cs2A+cs2B的最大值是______,最小值是________.


[解析] ∵A+B=eq \f(2π,3),


∴cs2A+cs2B


=eq \f(1,2)(1+cs2A+1+cs2B)


=1+eq \f(1,2)(cs2A+cs2B)


=1+cs(A+B)cs(A-B)


=1+cseq \f(2π,3)·cs(A-B)


=1-eq \f(1,2)cs(A-B),


∴當cs(A-B)=-1時,


原式取得最大值eq \f(3,2);


當cs(A-B)=1時,原式取得最小值eq \f(1,2).


[答案] eq \f(3,2) eq \f(1,2)


15.某高校專家樓前現有一塊矩形草坪ABCD,已知草坪長AB=100米,寬BC=50eq \r(3)米,為了便于專家平時工作、起居,該高校計劃在這塊草坪內鋪設三條小路HE,HF和EF,并要求H是CD的中點,點E在邊BC上,點F在邊AD上,且∠EHF為直角,如圖所示.





(1)設∠CHE=x(弧度),試將三條路的全長(即△HEF的周長)L表示成x的函數,并求出此函數的定義域;


(2)這三條路,每米鋪設預算費用均為400元,試問如何設計才能使鋪路的總費用最低?并求出最低總費用(結果保留整數)(可能用到的參考值:eq \r(3)取1.732,eq \r(2)取1.414).


[解] (1)∵在Rt△CHE中,CH=50,∠C=90°,∠CHE=x,∴HE=eq \f(50,csx).


在Rt△HDF中,HD=50,∠D=90°,∠DFH=x,∴HF=eq \f(50,sinx).


又∠EHF=90°,∴EF=eq \f(50,sinxcsx),


∴三條路的全長(即△HEF的周長)


L=eq \f(50?sinx+csx+1?,sinxcsx).


當點F在A點時,這時角x最小,


求得此時x=eq \f(π,6);


當點E在B點時,這時角x最大,


求得此時x=eq \f(π,3).


故此函數的定義域為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3))).


(2)由題意知,要求鋪路總費用最低,只要求△HEF的周長L的最小值即可.


由(1)得L=eq \f(50?sinx+csx+1?,sinxcsx),x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3))),


設sinx+csx=t,則sinxcsx=eq \f(t2-1,2),


∴L=eq \f(50?t+1?,\f(t2-1,2))=eq \f(100,t-1).


由t=sinx+csx=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4))),


x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3))),得eq \f(\r(3)+1,2)≤t≤eq \r(2),


從而eq \r(2)+1≤eq \f(1,t-1)≤eq \r(3)+1,


當x=eq \f(π,4),即CE=50時,Lmin=100(eq \r(2)+1),


∴當CE=DF=50米時,鋪路總費用最低,最低總費用為96560元.


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